函数单调性的教学设计

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1、函数单调性的教学设计（供第三次讨论稿）一．内容和内容解析函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如函数单调增表现为“随着x增大，y也增大”这一不变的特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数的整体性质，即函数在整个定义域上的性质．函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法．这就是，加强数与形的结合，由直

2、观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步加以解析研究，数学刻画．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．二．目标和目标解析本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数的单调性定义证明函数在区间上具有某种单调性的方法（步骤）。1．要求能够以具体的例子说明函数在某区间上具有某种

3、单调性；2．能够举例说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；3．对于一个具体的函数，能够按照单调性的定义，证明它的单调性：在区间上任意取x1，x2，x1＜x2，作差f（x2）－f（x1），然后判断这个差的符号，从而证明函数在该区间上具有单调性。三．教学问题诊断分析学生已有的知识结构是，初中已经学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应。学生还了解函数的三种表示

4、方法，特别是可以借助图像直观对函数性质加以考察。此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图像及性质。尤其值得注意的是，学生有利用函数图像进行两个数大小比较的经验。这些都是在函数单调性教学时值得关注的，是建立函数的单调性的生长点。学生学习的困难在于，难以把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，难以用数学的符号语言描述函数单调性的特征。即由“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一自然语言到“由（区间上）任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”（单调增）数学符号语言的转换．其中最难理解的是为什

5、么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1＜x2刻画。当然，应该注意到，企图在一节课中就实现学生对函数单调性的真正理解也是不现实的。在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念。教学重点是通过一系列具体问题的研究，经过归纳、抽象、概括，逐步由“随着x6的增大，y也增大”（单调增）这一自然语言转换成“由（区间上）任意的x1＜x2到f（x1）＜f（x2）”（单调增）数学符号语言．单调减的数学刻画将会迎刃而解。教学中，教师要找出建立概念的关键之处，明

6、确学生建立这个概念到底难在哪里．其次是采取适当的方法，注意启发引导，不以自己的想法代替学生的想法，把单调性的定义告诉学生．注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动。不要使学生仅记住意义，模仿练习．不要简化概念发生过程的教学，把重心放在具体函数单调性证明的训练上，放在作差后如何证明f（x2）－f（x1）＞0的技巧训练上．概念的形成过程应该是一个归纳、概括的过程，是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程．教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流。四．学习行为

7、分析要使得学生理解函数单调性的概念，具体可以进行如下的操作。1．可以先让学生观察图像，由图像的升降，所对应的函数值的变化，得到图像上升相应的是“随着x的增大，对应函数值y也增大”；图像下降相应的是“随着x的增大，对应函数值y减小”。从图像直观的形象刻画转化为数值之间的关系，加强数与形结合的意识。2．函数图像的“升”与“降”是两种不同的性质特征，需要分类研究。明确首先研究函数图像上升的情况，即先研究“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一特征。渗透重要思想。分类思想是一种重要的数学思想，分类讨论是常用的讨论问题的方法。也体现了先解剖一

8、个麻雀，重点研究函数单调增的情况，这样函数单调减就迎刃而解了。3．要刻画“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一现象，能否在该区间上取两个固定的值x1，x2，如果“当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”，从而得到在该区间上总有f（