蒙特卡罗方法在随机数中的应用

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1、第二章随机数随机数的定义及产生方法伪随机数产生伪随机数的乘同余方法产生伪随机数的乘加同余方法产生伪随机数的其他方法伪随机数序列的均匀性和独立性作业第二章随机数由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特卡罗方法中占有非常重要的地位。总体和子样的关系，属于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关系。由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是由简单子样中若干个性近似地反映总体的共性。随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已知分布的抽样过程中，将随机数作为已知量，用适当的数学方法可以由它产生具有任意已知分布的简单子样。什么是随机数？单个的数字不是随机数是指一个数列，其中的每一个

2、体称为随机数，其值与数列中的其它数无关；在一个均匀分布的随机数中，每一个体出现的概率是均等的；例如：在[0,1]区间上均匀分布的随机数序列中，0.00001与0.5出现的机会均等随机数应具有的基本特性考虑一个对高能粒子反应过程的模拟：需用随机数确定：出射粒子的属性：能量、方向、…粒子与介质的相互作用对这一过程的模拟应满足以下要求（相空间产生过程）：出射粒子的属性应是互不相关的，即每一粒子的属性的确定独立于其它的粒子的属性的确定；粒子的属性的分布应满足物理所要求的理论分布；所模拟的物理过程要求随机数应具有下列特性：随机数序列应是独立的、互不相关的(uncorrelated)

3、：即序列中的任一子序列应与其它的子序列无关；长的周期(longperiod)：实际应用中，随机数都是用数学方法计算出来的，这些算法具有周期性，即当序列达到一定长度后会重复；均匀分布的随机数应满足均匀性(Uniformity)：随机数序列应是均匀的、无偏的，即：如果两个子区间的“面积”相等，则落于这两个子区间内的随机数的个数影相等。例如：对[0,1)区间均匀分布的随机数，如果产生了足够多的随机数，而有一半的随机数落于区间[0,0.1]不满足均匀性如果均匀性不满足，则会出现序列中的多组随机数相关的情况均匀性与互不相关的特性是有联系的有效性（Efficiency):模拟结果

4、可靠模拟产生的样本容量大所需的随机数的数量大随机数的产生必须快速、有效，最好能够进行并行计算。随机数的定义及产生方法随机数的定义及性质随机数表物理方法随机数的定义及性质在连续型随机变量的分布中，最简单而且最基本的分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样称，随机数序列，其中每一个体称为随机数。单位均匀分布也称为［0，1］上的均匀分布，其分布密度函数为：分布函数为：由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置，我们用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定义可知，ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均匀分布的随机数序列。也就是说，独立性、均匀性是随机数必备的两个特点。随机

5、数具有非常重要的性质：对于任意自然数s，由s个随机数组成的s维空间上的点（ξn+1，ξn+2，…ξn+s）在s维空间的单位立方体Gs上均匀分布，即对任意的ai，下等式成立：其中P(·)表示事件·发生的概率。反之，如果随机变量序列ξ1,ξ2…对于任意自然数s，由s个元素所组成的s维空间上的点（ξn+1，…ξn+s）在Gs上均匀分布，则它们是随机数序列。由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊地位，它们虽然也属于由具有已知分布的总体中产生简单子样的问题，但就产生方法而言，却有着本质上的差别。随机数表为了产生随机数，可以使用随机数表。随机数表是由0，1，…，9十个数字组成，每个数字

6、以0.1的等概率出现，数字之间相互独立。这些数字序列叫作随机数字序列。如果要得到n位有效数字的随机数，只需将表中每n个相邻的随机数字合并在一起，且在最高位的前边加上小数点即可。例如，某随机数表的第一行数字为7634258910…，要想得到三位有效数字的随机数依次为0.763，0.425，0.891。因为随机数表需在计算机中占有很大内存，而且也难以满足蒙特卡罗方法对随机数需要量非常大的要求，因此，该方法不适于在计算机上使用。物理方法用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随机数发生器。用来作

7、为随机数发生器的物理源主要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另一种是利用计算机的固有噪声。一般情况下，任意一个随机数在计算机内总是用二进制的数表示的：其中εi（i=1，2，…，m）或者为0，或者为1。因此，利用物理方法在计算机上产生随机数，就是要产生只取0或1的随机数字序列，数字之间相互独立，每个数字取0或1的概率均为0.5。用物理方法产生的随机数序列无法重复实现，不能进行程序复算，给验证结果带来很大困难。而且，需要增加随机数发生器和电路联系等附加设备，费用昂贵。因此，该方法也不适合在计算机上使用。伪随机数伪随机数伪随机数