平面接地导体边界教学内容.ppt

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1、平面接地导体边界本章内容3.1唯一性定理3.2镜象法3.3分离变量法3.4点电荷密度的函数表示3.5*格林函数法3.6*有限差分法4.2,4.6,4.9,4.13,4.22第三章作业一、边值问题存在边界面的电磁问题。根据给定边界条件对边值问题分类：第一类边值问题－狄里赫利(Dirichlet)问题：已知电位函数整个边界面上的分布值。第二类边值问题－纽曼（Neumann）问题：已知函数在整个边界面上的法向导数。3.1唯一性定理已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。第三类边值问题（混合边值问题）：唯一性定理内容：

2、在场域V的边界面S上给定电位或者的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。二、唯一性定理说明：若对同一面积，同时给定和的值，则不存在唯一解。1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。3、唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据。唯一性定理的意义：当直接求解场方程有困难而采用其它方法求解时，如果能够找到一个函数，使它满足边值条件，并可证明它也满足场方程的话，则根据唯一性定理可以确信它即是所要求的解。补充：标量格林定理格林第一定理格林第二定理令：

3、证明：第一定理代入式高斯公式后求得又有代回前一式得证明：第二定理令式第一定理中的交换位置，得将上式与第一定理相减，求得得证证明（反证法）：设满足泊松方程的解有两个：，即有：令：则有：利用格林第一定理：（1）在边界S上，对于第一类边值问题（2）在边界S上，对于第二类边值问题（3）对于第三类边值问题，在一部分边界上有另一部分边界上有所以所以所以设尝试解：【例2.1.1】两个同心导体球壳之间充满两种介质。内导体带电，电荷量为Q，外导体球壳接地。求介质中的场强。镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适当位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面

4、上的感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。镜像法理论依据：唯一性定理。等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处，故称为镜像电荷。镜像电荷位置选择原则：1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。3.2镜像法1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像原问题：无限大接地导体平面（z=0）,点电荷q：z=h求：空间中电位分布。一、平面接地导体边界要求：与原问题边界条件相同原电荷：q:z=h镜像电荷(等效电荷):-q：z=-h取消导体边界面，z>0空间媒质充满整个空间。等效问题由等效问题，可以求出在

5、z>0空间内的电位分布为：讨论：无限大导体分解面上感应电荷总量即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示。2、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像=0=0对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为，则所有镜像电荷数目为2n-1个。问题：点电荷位于两种电介质分界面上方h，求空间电位分布。分析：在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极化电荷和电荷q共同产生。方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。3、【例4.1.1】点电荷对电介质分解

6、面的镜像解决问题过程：设媒质1中电位函数为媒质2中电位函数为1、建立求解方程。镜像电荷位于z<0区域中，整个空间充满媒质1。则媒质1内P点电位为：2、建立求解方程。镜像电荷位于z>0区域中，整个空间充满媒质2。位置与q重合。3、在z=0面上应用电位边界条件上式即在点电荷在介质分界面上镜像电荷电量。说明：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为即可。对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到等效问题：在z>0空间的电位分布为：4、线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像1、点电荷对接地球面导体边界的镜像镜像电荷位于球心与电荷q连

7、线上。令镜像电荷电量为，与球心距离为。要保持边界条件不变，则：二、点电荷对球面导体分解界的镜像在空间中任意点处电位为：由边界条件可知：像电荷求解方法1结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为球外电位：可以推得：电荷q在接地导体球面上产生的感应电荷即：感应电荷总量定于镜像电荷电量。象电荷求解方法2等效问题要使边值问题相同球面上的电位应为零讨论：若点电荷q位于接地导体球壳内：类似地，可以求得镜像电荷：球壳内电位：球壳外电位：不接地：导体球面电位不为0，球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为0）。处理方法：电位叠加原理2、点电荷对不接地

8、球面导体边界的镜像1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。2、断开接地。将电量为的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。3、均匀分布在导体球面上的电荷可以用位