导数在经济学中的应用讲解学习.ppt

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1、导数在经济学中的应用如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量Q便是价格P的函数，记称f为需求函数，同时f（P）的反函数也称为需求函数。一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，需求函数是单调减少的。人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数线性函数：，其中幂函数：，其中指数函数：，其中例1设某商品需求函数为讨论P=0时的需求量和Q=0时的价格。解：当P=0时，Q=b，它表示当价格为零时，消费者对商品的需求量为b，b也就是市场对该商品的饱和需求量，也称为最大需求量。当Q=0时，P=b/a，它表示当价格上涨到b/a时，没有人愿意购买该产品

2、。2.供给函数某一商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定的时期内，生产者愿意生产并可供出出售的商品量。供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量Q便是价格P的函数，设称为供给函数。一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的供给函数都是单调增加的。人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数线性函数：，其中幂函数：，其中指数函数：，其中使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为P0），称为均衡价格。例2.已知某商品的需求函数和供给函数分别为求该商品均衡价格。解：由供需均衡条件，有由此，得均衡价格3

3、.生产函数生产函数表示了一定的时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系。生产要素包括资金和劳动力等多种要素。为方便起见，暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投入皆为常量的情况。例3.在电力输送过程中，如果用x表示能量输入，则能量输出为y=f(x)，其中这里c>0为容量参数。规模报酬问题：当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？例：设投入x与产出g(x)的关系为由于，可见，当时，规模报酬不变；当时，如果投入增加一倍，产量增加不到一倍，即规模报酬递减；当时，如果投入增加一倍，产量增加超过一倍，即规模报酬递增。4.成本函数成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额

4、。成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。例4.设某厂的生产函数，其中L表示劳动力数量，求劳动力价格为1152时的可变成本函数解：由，得，这样即可变成本函数5.收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，用Q表示出售的产品数量，R表示总收益，表示平均收益，则如果产品的价格P保持不变，则6.利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，即例6.已知某产品价格为P，需求函数为成本函数为，求产量Q为多少时利润L

5、最大？最大利润是多少？解：由需求函数，可得于是，收益函数为因此，时，最大利润为30。这样，利润函数为7.库存函数设某企业在计划期T内，对某种物品的总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进货是不合算的，考虑均匀地分n次进货，每次进货批量为，进货周期为假定每件物品的贮存单位时间费用为C1，每次进货费用为C2，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为。在时间T内的总费用E为其中是贮存费，是进货费用。8.戈珀兹（Gompertz）曲线戈珀兹曲线是指数函数在经济预测中，经常使用该曲线.当初始期发展期饱和期时，其图形如图所示初始期发展期饱和期由图可见戈珀兹曲线

6、当t>0且无限增大时，其无限与直线y=k接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到k的值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。二、边际与弹性1.边际概念如果函数在处可导，则在内的平均变化率为；在处的瞬时变化率经济学中称它为在处的边际函数值。设在点处，从改变一个单位时，的增量的准确值为，当改变量很小时，则由微分的应用知道，的近似值为当时，标志着x由x0减少一个单位。定义1设函数在处可导，则称导数的边际函数。为在x0处的值为边际函数值。即：当x=x0时，x改变一个单位，y改变个单位。例1解：（1）边际成本2.经济学中常见的边际函数（2）边际平均成本总成本函数的导

7、数，称为边际成本。平均成本的导数，称为平均边际成本。一般说来，总成本等于固定成本与可变成本之和，即于是，边际成本为显然，边际成本与固定成本无关。例2.设某产品生产Q单位的总成本为求：（1）生产900个单位时的总成本和平均成本；（2）生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率；（3）生产900个的边际成本，并解释其经济意义。总成本函数：解：（1）生产900个单位时的总成本为平均成本为（2）生产900个单位到1000时总成本