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1、四边形的中点专题1..如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=，求BE的长；（2）若M是EF中点，求证：MC垂直平分DBG（1）解：∵四边形ABCD正方形，∴∠BCD=90°，∴Rt△BCD中，，即∴BC=AB=1，∵DF⊥DE，∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF=BF-BC=∴BE=AB-
2、AE=1-=（2）证明：如图：连接DM，BM，∵DF⊥DE，M为EF中点，∴DM=EF，∵∠EBF=90°，M为EF中点，∴BM=EF，∴BM=DM，∴M在BD的垂直平分线上∵BC=CD,∴C在BD的垂直平分线上∴MC垂直平分DB2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O,且∠DAC=2∠CAB,DE⊥AC于点E,求证：AD=2OE证明：取CD的中点F，连接EF，OF∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO∴OF∥AD,AD=2OF∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∴EF=FC∵CD∥AB∴∠C
3、AB=∠DCA=x.∴∠FEC=∠DCE=x.∴∠DAC=∠FOC=2x.∴∠FEO=∠EFO=x∴OE=OFAD=2OE3.在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O．E、F、P分别OB、OC、AD的中点，且AC=2AB，求证：EP=EF．证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AC=2OA=2OC，∵AC=2AB，∴OA=AB，∵E为OB中点，∴AE⊥BD（三线合一定理），∴∠AED=90°，∵P为AD中点，∴AD=2EP，∵BC=AD，∴BC=2EP，∵E、F分别是OB、OC中点，∴B
4、C=2EF，∴EP=EF．4.如图，点E为正方形ABCD外一点，∠BCE=∠BAE=15°,AE=,O为BD的中点，连接OE,求OE的长。解：连接BD,∵四边形ABCD正方形，∵O为BD的中点∴BD进过点O,∵∠BCE=∠BAE=15°,∴∠AEC=∠ABC=90°∠BAC=45°∴∠EAC=60°∴AC=∴OE==5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AO=BD,E为AO的中点,连接BE,F、G分别是BE、AD的中点,连接FG、OG.求证:FG=OG证明：取CD的中点H，连接GE、HF、GH
5、.在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O∴AC⊥BD,∴∠AOB=∠AOD=90°∵AO=BD,E为AO的中点∴OE=OB=OD,∵F、G分别是BE、AD的中点∴GE∥OD,GE=0.5DO,HF∥BO,HF=0.5BO∴GE∥HF,GE=HF∴四边形GEHF是平行四边形∴HG∥EF,HG=EF∴∠GHE=∠OEB=45°∴∠GHO=135°∴∠GEO=∠AOD=90°∴∠GEF=135°在△GEF和△GHO中，，∴△GEE≌△GHO（SAS），∴FG=OG6.已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=
6、BD，F为DE的中点，连结AF．(1)若AB=3，AD=4，求DE的长；(2)求证：∠ADB=2∠DAF．解：（1）∵因为四边形ABCD是矩形∴BC=AD=4，CD=AB=3在Rt△ABD中，BD==5∴BE=BD=5,CE=BE-BC=1∴DE=（2）连接BF、CF.∵BE=BDEF=DF∴∠DBF=∠EBF又∵CF=DE=DF∴∠DCF=∠FDC∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF即∠ADF=BCF又∵AD=BC∴△ADF≌△BCF∴∠DAF=∠FBC=∠DBE∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBE∴∠ADB
7、=2∠DAF7.在平行四边形ABCD中,DB⊥AO于点O,E为AB的中点,OD=BE,∠EDB=22.5°,求∠BDC的度数解：连接OE,在平行四边形ABCD中,DB⊥AO于点O∴∠AOB=90°,∵E为AB的中点,∴OE=AE=BE∵OD=BE,∴OD=OE∴∠EDB=∠DEO=22.5°,∴∠EOB=45°∴∠AOE=45°∴∠OAB=∠OBA=45°∵CD∥AB∴∠BDC=∠ABO=45°8.在平行四边形ABCD中,∠CAB=2∠DAC，DF⊥AB于F,交AC于E.AF=3，DF=4，求：EC的长解：取
8、EC的中点G，连接DG.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB∴∠CAB=∠DCA=x.∴∠DAC=2x.∵DF⊥AB∴∠DFB=90°∴AB==5∴∠EDC=90°∴DG=GC=EG∴∠GDC=∠DCG=x∴∠DGA=2x∴∠DGA=∠DAG∴AD=DG=5∴EC=109.如图，点E为正方形ABCD的BC边上任意一点，连接DE,F为DE的中点,连接FA、BF.（1）求证：AF=BF.（2）若∠
