微积分CH5_1定积分概念与性质.ppt

《微积分CH5_1定积分概念与性质.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章定积分积分学不定积分定积分第一节三、定积分的近似计算定积分的概念及性质引例1.定积分的性质4.定积分的近似计算3.定积分的概念2.一、引例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)求和.在第i个小曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积得3)取极限.令则曲边梯形面积2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运

2、动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割.将它分成在每小段上物体经2)求和.得已知速度n个小时间段过的路程为4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即定积分的几何意义:曲边梯形面积曲

3、边梯形面积的负值各部分面积的代数和可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为注注.当n较大时,此值可作为的近似值三.定积分的近似计算由定积分定义有如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:1.左矩形公式2.右矩形公式四、定积分的性质证:=右端补充规定：证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是(k为常数)当a,b,c的相对位置任意时,例如则有同理可证的情形，所以不论的相对位置如何，上述等式总成立。性质5.1.5若在

4、[a,b]上则证:推论5.1.1.若在[a,b]上则推论5.1.2证:即性质5.1.6设则例2.估计定积分解：先调换上下限，考虑设的值。由知在上单调递增，所以有最小值最大值由性质5.1.6得所以性质5.1.7积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质5.1.6可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7注:故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因表示连续曲线思考:如何用定积分表示下述极限