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1、微分几何用微积分方法研究几何图形的性质包括平面几何和立体几何用代数的方法研究图形的几何性质代数几何分形几何计算几何…………返回主目录第一章预备知识第二章曲线论第三章曲面的基本理论第四章黎曼曲率张量与测地线例题选讲主目录主目录第一章约16学时第二章约12学时第三章约24学时第四章约18学时例题选讲约2学时机动约2学时总共大约74学时学习进度表学时分配返回主目录返回主目录第一章预备知识微分几何第一章预备知识向量代数向量分析曲线与曲面的概念等距变换本章补充习题第一章内容概要本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、曲线与曲面的解析几何、等距变换等内容，
2、这些内容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需要的．本章的重点是第三节：曲线与曲面的概念．这一节包括曲线与曲面的概念、曲线的法线和曲面的切平面方程．向量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度和夹角等内容，其中拉格朗日公式是这一节的重点．向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，所以本节作为一般了解．返回章首1.1向量代数内容：向量积、内积、混合积的性质与计算重点：拉格朗日公式返回章首集合R3={(x,y,z)
3、x,y,z∈R}称为三维实向量空间，其元素(x,y,z)叫做一个向量。aijkO返回章首1.1向量代数-向量例
4、如i=(1,0,0)，j=(0,1,0)，k=(0,0,1)是R3的三个向量。除了i、j、k这三个向量以外，我们一般用蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如a、r、a、b等。几何上，我们用一个箭头表示向量，箭头的起点叫向量的起点，箭头的末端点叫向量的终点。再设a=(x,y,z)，l∈R，则l与a的数乘定义为la=lxi+lyj+lzk=(lx,ly,lz).设a1=(x1,y1,z1)，a2=(x2,y2,z2)，则它们的和定义为a1+a2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).a1a2a1+a2ala返回章首1.1向量代数-线性运算设i=(1,
5、0,0)，j=(0,1,0)，k=(0,0,1)，则任意向量a=(x,y,z)可表示为a=xi+yj+zk．（如图）aijkOzkyjxixi+yj=xi+yj+zk返回章首1.1向量代数-向量设ai=(xi,yi,zi)（i=1,2）是R3中的两个向量，它们的内积定义为a1⋅a2=x1x2+y1y2+z1z2．内积具有如下性质：正定性．a⋅a≥0，等式成立当且仅当a=0；对称性．a⋅b=b⋅a；线性性．a⋅(kb+hc)=ka⋅b+ha⋅c．向量a的长度为
6、a
7、=(a⋅a)1/2；长度为1的向量叫单位向量．返回章首1.1向量代数-内积1.1向量代
8、数-两个不等式定理.对任意的两个向量a、b∈R3有下面两个不等式成立：许瓦滋不等式a⋅b≤
9、a
10、⋅
11、b
12、．闵可夫斯基不等式
13、a+b
14、≤
15、a
16、+
17、b
18、．这两个不等式中的等式成立的充分必要条件是a∥b．返回章首1.1向量代数-两向量的夹角向量a与b的夹角为如果两个向量的夹角是p/2，就称这两个向量相互垂直或正交．因此两向量正交的充分必要条件是它们的内积为零．由许瓦兹不等式可知
19、cosq
20、≤1.返回章首1.1向量代数-距离两个向量a、b作为R3的点，它们之间的距离定义为d(a,b)=
21、a–b
22、．在R3上装备了这样的距离函数之后就叫欧氏空间．距离具有如下性
23、质：正定性．d(a,b)≥0，等式成立当且仅当a=b；对称性．d(a,b)=d(b,a)；三角不等式．d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)．返回章首1.1向量代数-向量积aba×bq伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从向量a朝向量b旋转一个较小的角度（小于180º）到达b，则大拇指所指的方向就是a×b的方向．（如图）设向量a、b的夹角为q，则它们的向量积（也叫叉积）a×b是这样一个向量，其长度为
24、a×b
25、=
26、a
27、⋅
28、b
29、sinq，方向满足右手法则：返回章首1.1向量代数-向量积的性质根据向量积的定义，我们有i×j=k,j×k=i,k×i=j.
30、反交换律：a×b=–b×a．（见下图）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c.aba×babb×a返回章首1.1向量代数-向量积的计算公式注意：
31、a×b
32、等于由a和b张成的平行四边形的面积．（如图）设ai=(xi,yi,zi)（i=1,2）是R3中的两个向量，则有：abq
33、a
34、sinq
35、a
36、⋅
37、b
38、sinq=
39、a×b
40、返回章首1.1向量代数-混合积三个向量a、b、c的混合积定义为(a,b,c)=(a×b)⋅c．向量的混合积满足轮换不变性：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b).向量的混合积满足反交换性，即交换两个向量的位置改变混合积的符号，
41、如(a,b,c)=–(c,b,a)，等等.返回章首注意：
42、(a,b,c)
43、等于由向量a、b、c张成的平行四面体的体积．（如
