第1章期望效用函数理论与单期定价模型ppt课件.ppt

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1、数理金融第1章期望效用函数理论与单期定价模型第1章期望效用函数理论与单期定价模型1.期望效用函数理论2.投资者的风险偏好和风险度量3.单期定价模型本章内容概览1.1序数效用函数1.1.1偏好关系1.1.1偏好关系1.1.2字典序例如：设选择集1.1.2字典序问题验证上述的二元关系是否是一偏好关系？1.1.2字典序1.1.2字典序1.1.3效用函数效用函数定义1.1.4偏好关系的三条重要性质性质1（序保持性）证明字典序具有性质1必要性证明字典序具有性质1（续）必要性因此证明字典序具有性质1（续）必要性则根据向量运算法则证明字典序具有性质1（续）必要性证明字典序具有性质1（续）充分性根据字典序

2、的定义，可能有以下两种情况证明字典序具有性质1（续）充分性故1.1.4偏好关系的三条重要性质性质2（中值性）证明字典序不具有性质2根据字典序定义，我们有证明字典序不具有性质2（续）这说明字典序不具有性质2。1.1.4偏好关系的三条重要性质性质3（有界性）1.1.5序数效用函数存在定理定理1.1序数效用函数存在定理证明由性质3，此时定理显然成立。因为B存在偏好关系，只有3种情况：序数效用函数定理证明必要性由性质1（序保持性），充分性由保序性，充分性此时由U的定义，由性质1必要性若不然，由结论1，充分性说明设U是效用函数，注1序数效用函数不是唯一的，但是都具有如下性质：说明注2在字典序上不存在

3、与字典序相一致的效用函数。注3利用数学归纳法证明注3利用数学归纳法证明注3（续）利用数学归纳法证明注3（续）1.2期望效用函数引言在1.1节中，我们讨论了当选择对象是确定的，且满足偏好关系的三条性质（序保持性、中值性和有界性）的条件下，序数效用函数的存在性定理。本节将把效用概念推广到选择对象包含不确定（风险）的情形。假设投资者在形如下面的“彩票”中选择，收益（盈利或奖金数额）用表示，对应的概率为1.2.1彩票及其运算彩票概念：随机变量的概率分布可用向量表示为1.2.1彩票及其运算结论1.2.1彩票及其运算性质定义复合性抽彩为：可以证明1.2.1彩票及其运算性质则1.2.2彩票集合上的偏好关

4、系1.2.2彩票集合上的偏好关系性质1（保序性）1.2.2彩票集合上的偏好关系性质2(中值性)性质3(有界性)1.2.3基数效用函数存在定理定理1.2（基数效用函数存在定理）定理1.2（基数效用函数存在定理）证明定理1.2（基数效用函数存在定理）证明（续）由效用函数的构造性定义即证毕。定理1.2（基数效用函数存在定理）（3）的推广推广到n个彩票相加的情形由效用函数的定义可见，上面定义的效用函数不唯一。1.2.3基数效用函数存在定理命题1.11.2.3基数效用函数存在定理命题1.1证明令由定理1.2，效用函数U满足定理1.2的性质(3)，于是1.2.3基数效用函数存在定理命题1.1证明续因此

5、，在不考虑正仿射变换情况下，这一类效用函数是唯一的，称它为基数效用函数。1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函数针对离散的有限状态这时把选择集看成所有输出的概率分布律组成的集合1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函数针对离散的有限状态为方便，定义1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函数针对连续的状态空间1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函数针对连续的状态空间1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函数针对连续的状态空间1.2.4vonNeumann-Morgenstren效用函数定理

6、1.31.2.5伯瑞特率问题：假设资产市场上的所有投资者都具有冯.诺依曼—莫根斯坦效用函数，但效用函数的具体形式可以不一样，是否存在一个基于效用的度量，它能够用来对所有具有不同效用的个体进行共同的比较呢？伯瑞特（Pratt）回答了这个问题。1.2.5伯瑞特率定义假设投资者具有vonNeumann-Morgenstern效用函数，给定vonNeumann-Morgenstern效用函数V(x),1.2.5伯瑞特率命题1.2证明：1.2.5伯瑞特率命题1.2定义为对风险厌恶程度的度量，称为Arrow-Pratt风险厌恶测度或者绝对风险厌恶。1.3投资者的风险类型及风险度量1.3.1投资者的风险

7、类型引例1.3.1投资者的风险类型引例1.3.1投资者的风险类型引例1.3.1投资者的风险类型引例1.3.1投资者的风险类型引例1.3.2马科维茨风险溢价基本概念1.3.2马科维茨风险溢价基本概念1.3.2马科维茨风险溢价1.3.2马科维茨风险溢价例1.11.3.2马科维茨风险溢价例1.11.3.3阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数马科维茨风险溢价和效用函数之间的关系由风险溢价的定义等号的左边写为1.