简单期权的离散模型定价

《简单期权的离散模型定价》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章简单期权的离散模型定价单时期期权二叉树模型基本假定：期末时期的资产股票的价格只有两种可能，即上涨(u)或下跌(d)CdSSuSdCCu期末时期股票价格期末时期期权价格单时期期权二叉树模型基本思想：通过做多或做空操作使股票和期权形成一个组合使得不论股票价格如何变化，这个组合的价值在期末是固定不变的，那么这个组合的收益率一定等于无风险收益率，这样就可以为期权确定价格单时期期权二叉树模型数学推导：期初：卖出1份看涨期权、买入h股股票，此时组合的价值为期末：股票价格上涨时组合的价值股票价格下跌时组合的价值单时期期权二叉树模型数学推导

2、：组合在期末的价值是固定的，即可得：h称作套期保值率h含义：为对冲风险构建一个无风险组合，在这个无风险组合中每做空一份看涨期权所需要购买的股票的数量。单时期期权二叉树模型数学推导：使用复利方法贴现，期权定价公式为其中r为无风险利率单时期期权二叉树模型数学推导：使用连续复利方法贴现，期权定价公式为其中单时期期权二叉树模型结论：期权的价格只与股票价格的波动率相关，而与股票的期望收益率无关期权的价格与投资者的风险偏好无关期权价格与股票价格上涨和下跌的概率无关举例：股票当前价格为100,无风险利率为r=0.05u=1.2d=0.9欧式看涨

3、期权的执行价格K=100资产组合期初价值期末价值股价S=120股价S=90买入h股股票+h*100+h*120+h*90卖出1份期权-C-200投资组合的净价值h*100-Ch*120-20h*90-0举例：期末：即：得：期初组合的价值：期末组合的价值：期权价格：C=9.53期权偏离均衡价格的套利上例中，期权的均衡价格为9.53若c=10，如何套利？资产组合期初成本期末价值股价S=120股价S=90买入0.6667股股票-66.678060卖出1份期权10-200以利率0.05借入无风险资产56.7-59.535-59.535投资

4、组合的净价值00.4650.465期权偏离均衡价格的套利若c=9，如何套利？资产组合期初成本期末价值股价S=120股价S=90卖出0.6667股股票66.67-80-60买入1份期权-9200以利率0.05借出无风险资产-57.760.58560.585投资组合的净价值00.5850.585两时期二叉树定价模型扩展后期末时股票的价格共有三种可能对应的期权价格也有三种可能欧式期权不能提前执行,采用倒推法，先求得和，再求得C两时期二叉树定价模型复利：连续复利：注：期权的价格就可以看作是其期末价格期望值的贴现值Su=120Sd=90S=

5、100接上例股票的三个月的看涨期权的执行价为21美元Suu=144Sud=108Sdd=81C=13.605Cu=24.762Cd=3.810Cuu=44Cud=8Cdd=0接上例套期保值率并不是一成不变的，是个动态的过程套期保值的动态过程多时期二叉树定价模型定价公式推导当股票的价格为时,对应的期权价格为，发生的概率为在t=n时期权价格的期望值为：多时期二叉树定价模型定价公式推导（续）复利，r代表每一期的无风险利率：连续复利：这就是多时期欧式看涨期权的二叉树定价公式TherelationshipamongSu,Sdandr?多时期

6、二叉树定价模型同理，欧式看跌期权的二叉树定价公式：复利：连续复利：定价公式中u和d的确定现实中的股票价格可以用几何布朗运动来很好的模拟，在无套利市场中有如下的关系式：时间间隔很小时，股票价格的方差：在风险中性的情况下还可以通过来得到股票价格的方差：关系式：定价公式中u和d的确定联立以上四式得：无风险利率r是时间t的函数利率的期限结构并不总是在一条水平线上，而是随着时间的增加不断的上升或者下降，即是时间t的函数r(t)不会影响股票的二叉树图形的结构风险中性概率p会随着r(t)的变化而变化或者美式看涨期权的二叉树定价模型美式期权可以在

7、合约到期之前任何时间执行美式期权定价方法——倒推法注意：由于存在提前执行的可能性，我们要在每个节点处比较立即执行所得到的价值和继续持有所得到的回溯价格的大小关系，选取二者中较大的值作为节点处期权的价格将时期数扩展到n期i表示时期t=i,j表示股票价格上升的次数股票在(i,j)处的价格为股票在(i,j)处的价格为若期权在节点（i,j）提前执行，期权价格为：若期权在节点（i,j）继续持有，期权价格为：美式看涨期权的二叉树定价模型美式看涨期权的二叉树定价模型比较二者的大小，确定期权在节点（i,j）处的价格复利：连续复利：美式看跌期权的二

8、叉树定价模型：复利：连续复利：举例：股票的初始价格S=100u=1.15，d=0.9时期数T=2无风险利率r=0.02Su=115Sd=90S=100接上例Suu=132.25Sud=103.5Sdd=81C=6.79（0）Cu=14.85（15）