第8章微分方程ppt课件.ppt

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1、第8章微分方程二、一阶微分方程一、微分方程的基本概念三、二阶微分方程1.可分离变量微分方程2.一阶线性微分方程3.齐次微分方程1.可降阶的二阶微分方程2.二阶线性方程解的结构3.二阶常系数线性齐次方程4.二阶常系数线性非齐次方程四、微分方程的应用常微分方程偏微分方程(未知函数是多元函数的方程)含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶(未知函数是一元函数的方程,本章内容)一、微分方程的基本概念分类1.微分方程代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.微分方程的解的分类(1)通

2、解(2)特解确定了通解中任意常数以后的解.阶微分方程的解中含有个独立的任意常数。2.微分方程的解(3)初始条件用来确定任意常数的条件.(4)初值问题(柯西问题)求微分方程满足初始条件的解的问题.转化分离变量得如果一个一阶微分方程形如（1）将一个变量可分离的方程化为（1）的过程，称为分离变量.称为可分离变量的方程1.可分离变量的方程二、一阶微分方程例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)说明:通解不一定是方程的全

3、部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程y=–x及y=C例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为2.齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)此处例2.求微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x

4、也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.的通解。例3.求微分方程解:代入上式并整理后则有分离变量并两边同时积分有：通解的通解。3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称(1)为一阶线性非齐次方程.(1)解线性齐次方程分离变量两边积分得故通解为称(1)为一阶线性齐次方程;其中P(x),Q(x)是x的已知连续函数;Q(x)为自由项。称P(x)为变系数,对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解(2)解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例1求微分方程的通解。解

5、：原式整理为由公式得通解例2解方程若将方程写成则它既不是线性方程,又不能分离变量.若将方程写成以x为未知函数,即一阶线性非齐次方程.分析y为自变量的此外,y=1也是原方程的解.解参数形式的.解方程时,通常不计较哪个是自变量哪个是因变量,视方便而定,关系.关键在于找到两个变量间的解可以是显函数,也可以是隐函数,甚至是注例3：求微分方程满足的特解。函数，方程可写为：此方程为一阶线性微分方程。通解：解：若将x看成y的用通解公式有：特解：三、二阶微分方程1.可降阶的二阶微分方程(2)型的微分方程(3)型的微分方程(1)型的微分方程(1)解

6、法:令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程特点:左端是未知函数y的n阶导数,右端是自变x的一个已知函数,且不含未知函数y及其导数例1.解:型的微分方程解法：设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解(2)特点：方程不显含y.例2.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为(3)型的微分方程解法：令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解特点：方程不显含x.例3.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:是二阶线性齐次方

7、程的两个解,也是该方程的解.(线性齐次方程解的叠加原理)(1)2.线性齐次微分方程解的结构(2)是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.推广：是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为则（线性齐次方程通解的结构）是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,(3)则是非齐次方程的通解.(4)若是非齐次线性微分方程的两个相异特解，则（线性非齐次方程通解结构）是对应齐次线性微分方程的解。(5)分别是方程的特解,是方程的特解.(线性非齐次方程之解的叠加原理)常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是

8、二阶非齐次线性方程的解,是任意例1.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)例2.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三(3)根据特征根的不