第四章傅立叶分析ppt课件.ppt

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1、第四章傅立叶分析第四章傅立叶分析期望、均方值幅值域方差、标准差(联合)概率密度函数(联合)概率分布函数时差域频域：应用傅立叶分析手段自相关函数互相关函数4.1傅立叶级数4.2傅立叶级数的复数形式4.3傅立叶变换及其性质4.4δ函数及其性质4.5几个常用函数的傅立叶变换(1)4.1傅立叶级数一个周期为T的周期信号x(t),只要在其周期内满足狄利克雷条件，都可展成傅立叶级数的形式狄氏条件：（1）函数连续或只有有限个第一类间断点（2）函数只有有限个极值点(2)式中ω0=2π/T称为基频(1)信号x(t)的另一

2、种形式的傅里叶级数表达式为式中基频基波谐波(3)以nω0为横坐标，分别画出代表an和bn或An和φn的竖向线的变化，所得图形称为信号x(t)的频谱图。例1:求图示周期方波信号x(t)的傅里叶级数展开。解：信号x(t)在它的一个周期中的表达式为：根据式(2)有：ω0=2π/T所以根据式(1)，便可得图示周期方波信号的傅里叶级数表达式为：其幅值谱如下图所示:基频项数增加时逼近x(t)的情况4.2傅里叶级数的复指数形式根据欧拉公式：把它们代入式(1)(1)令得：公式可以重写为或复振幅的确定：故：已得：同理由：将

3、以上三式归纳到一起：傅立叶级数两种形式之间的关系（阅读）（1）傅立叶级数的两种表现形式，在本质上是一样的，有时采用复数形式比较方便。n阶谐波在实数形式中的表达式和在复数形式中的表达式等价（2）n阶谐波的幅值在实数形式中为在复数形式中的复振幅为复振幅的模正好为实振幅模的一半3、在实数形式中，n阶谐波的幅值、相角的图形：其中幅值为，相角为n阶谐波的幅值相角图n阶谐波的实数表示可以看成一个以角频率ω旋转的向量在横坐标上的投影。当t＝0时，其大小为：n阶谐波的复数表示为：n阶谐波的复数表示为：它是以nω（逆时针）

4、和－nω（顺时针）以相反方向旋转的两个向量Cn和C-n的向量和。t＝0时，其向量和也是ann阶谐波的复数表示共轭复数的实部都是，虚部分别为此外，复数形式还可以表示为：两个向量Cn和C-n模相等，相角差一负号4.3傅立叶变换及其性质傅立叶级数是针对周期函数进行的分析，随机信号均为非周期函数。对于非周期函数，一般可以看成是由周期为T的函数，当T趋于无穷时转化而来。其中(a)(b)4.3.1非周期信号的频域描述设x(t)为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数，则它可表示为傅里叶级数的形式：将式(b)代入式(

5、a)可得(c)显然，当T→∞时，区间(-T/2,T/2)变成(-∞,∞)，且频率间隔Δω=ω0=2π/T为无穷小量，离散频率nω0变成连续频率ωdω/2π=1/T(a)(b)将式(d)中括号内的积分记为则有由式(c)得到(e)(f)(d)(c)x(t)和X(ω)之间的这种关系经常表示如下：将X(ω)称为x(t)的傅里叶变换，将x(t)称为X(ω)的傅里叶逆变换。若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由于ω=2πf，式(e)和(f)分别为(g)(h)(e)(f)ω=2πf1).从公式(e)和(f)易

6、知,与周期函数的情况不同,非周期函数的频谱是连续的而不是离散的。2)X(f)一般为实变量f的复函数，故可写为如下形式

7、X(f)

8、或

9、X(ω)

10、称为非周期信号x(t)的幅值谱，φ(f)或φ(ω)称为x(t)的相位谱。图示矩形脉冲函数（又称窗函数）的解析表达式为求其频谱注意：不是所有的非周期函数都能进行傅氏变换，只有满足绝对可积的函数才能进行傅氏变换，傅氏变换的条件：4.3.2傅里叶变换的性质1.线性2.对称性5.尺度变换性3.奇偶性4.时域平移定理6.时域微分定理8.帕塞瓦尔定理（能量积分）7.时域积分定理

11、1.线性如果则2.对称性(阅读）则如已知x(t)的傅氏变缓X(ω)，则信号X(t)的傅氏变换可以立即得到，而不需要重新计算。如果有对称性证明：交换积分变量3、奇偶性（掌握）若f(t)是实函数，其傅立叶变换一般是复数，其实部是偶函数，虚部是奇函数若f(t)为实、偶函数，F(ω)为ω的实、偶函数；偶函数乘以奇函数为奇函数，在整个积分区域内的积分为零故F(ω)为ω的实、偶函数同理可证：若f(t)为实、奇函数，F(ω)为ω的虚、奇函数。若f(t)为实、偶函数，F(ω)为ω的实、偶函数；4.时域平移性（掌握）如果有

12、则所以：函数在时间上延迟一段时间，其傅立叶变换的模并未改变，只是相角发生了变化，其变化的大小随频率不同，是频率的线性函数。时域平移定理的证明：如：则：时域平移定理示意图掌握：四个车轮：路面不平度函数，此时自变量由时间变为长度，频率将由时间频率f变为空间频率n；相同侧的前后轮的路面不平度只相差一个轮距。时间频率f：单位时间（1秒内）振动的次数空间频率n：单位长度（1米内）波长的个数5尺度变换性(阅读)如果有则其中a为实常数。时域