第四章解非线性方程的迭代法ppt课件.ppt

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1、设线性方程组(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);(2)讨论这两种迭代法的收敛性.(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时,预估误差x*-x(10)(取三位有效数字).课堂练习(2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当0<1时收敛.解(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为(3)由(1)可见B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,

2、所以有如(x)=3x5-2x4+8x2-7x+1第4章解非线性方程的迭代法本章讨论求非线性方程(x)=0(4.1)的根的问题。其中(x)是高次多项式函数或超越函数。如果存在，使得()＝0，则称是方程(x)=0的根,(x)=e2x+1-xln(sinx)-2等等。或称是函数(x)的零点。如果(x)满足：(x)=(x-)mh(x),其中h(x)在x=处连续且h()0,称是方程(x)=0的m重根。如果方程(x)=0在区间[a,b]上有根,则称[a,b]为方程(x)=0的有根区间。若(x)在处充分可导,

3、则是(x)=0的m重根等价于：()=()=…=(m-1)()=0,(m)()0设(x)在区间[a,b]上连续且(a)(b)<0,根据连续函数的介值定理,区间[a,b]上必有方程(x)=0的根。0yxy=(x)ab如果函数(x)在区间[a,b]上又是单调的,则方程(x)=0在区间[a,b]上有唯一根。m=1时,称是方程(x)=0的单根。123§1.1简单迭代法的一般形式§1简单迭代法首先把方程(x)=0改写成等价(同解)形式x=(x)(4.2)得到迭代序列{xk},如果xk,取一个

4、合适的初始值x0，然后作迭代xk+1=(xk),k=0,1,2,…(4.3)这种求方程根的方法称为简单迭代法，或逐次逼近法。则有=(),即是方程(x)=0的根。其中(x)称为迭代函数,式(4.3)称为迭代格式。若迭代序列{xk}收敛,则称简单迭代法是收敛的。,建立迭代格式解改写原方程为等价方程求方程x3-2x-3=0在[1,2]内的根.例1如果取初值x0=1.9,计算得：kxkkxk0123451.91.894536471.893521141.893332331.893297221.89329069678910…1.89328

5、9471.893289251.893289211.893289201.89328920……由计算结果有

6、x10－x9

7、<10-8,因此可取x10。方程也可改写成x=(x3-3)/2,建立迭代格式xk+1=(xk3-3)/2,k=0,1,2,…仍取初值x0=1.9,则有x1=1.9295,x2=2.0917,x3=3.0760,x4=13.0529可见,xk,此迭代格式是发散的。§1.2简单迭代法的收敛条件及收敛阶首先，对任意初值x0[a，b]，(x)应使产生的序列{xk}[a,b],即(x)的值域落在定义域内。另外,从几何上

8、看:xoyy=xy=(x)x0x1x2xoyy=xy=(x)x0x1x2xoyy=xy=(x)x0x1x2xoyy=xy=(x)x0x1x2x4x30<(x)<1-1<(x)<0(x)>1(x)<-11.a(x)b,x[a,b];定理4.1设迭代函数(x)C1[a,b],且满足则迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…,x0[a,b]都收敛于方程x=(x)在区间[a,b]的唯一根，且可见,

9、xk-xk-1

10、充分小可保证

11、xk-

12、充分小,2.

13、(x)

14、L<1,x[a,b

15、]而且对任一>0,要使

16、xk-

17、<,只要证记(x)=(x)-x,则(a)=(a)-a0,

18、xk+1-xk

19、=

20、(xk)-(xk-1)

21、

22、xk-

23、=

24、(xk-xk＋1)+(xk+1-)

25、

26、xk-xk+1

27、+

28、xk+1-

29、L

30、xk-xk-1

31、+L

32、xk-

33、于是有：(b)=(b)-b0,由(x)的连续性,必存在[a,b]使()=()-=0,即=(),又(x)=(x)-1<0,所以x=(x)的根唯一。=

34、()(xk-xk-1)

35、L

36、xk-xk-1

37、

38、xk+1-

39、=

40、(

41、xk)-()

42、=

43、()(xk-)

44、L

45、xk-

46、求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-3。解可以验证方程xex-1=0在区间[0.5,0.61]内