Ch4非线性方程组及其应用ppt课件.ppt

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1、化工应用数学AppliedMathematicsforChemicalEngineering第4章非线性方程（组）及其应用化学化工学院汤吉海概述求解方程f(x)=0的数值法的基本思想：从某个初始近似值x0出发，按照某种数值过程模式进行重复，从而逐次改进前次的结果，直到达到规定的精度，便停止这种重复，并将最后所得结果xn作为方程f(x)=0的数值解。数值法解方程必须做三件事：首先:在函数f(x)的定义域内寻找初值x0；其次:建立逐次逼近的数值过程模式；第三:规定最终近似解的精度。解的精度取决于工程计算的实际

2、要求而与算法无关。各种算法的实质是由数值过程的模式确定的，不同的模式具有不同的计算效果和速度。初值x0则影响计算过程的速度甚至成败。主要内容4.1非线性方程的求解二分(Bisection)法简单迭代(Iteration)法牛顿(Newton)法弦截(Secant)法抛物线法（Muller法）4.2非线性方程组的求解牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)法4.3非线性方程（组）的MATLAB求解图解法数值求解(fzero，fsolve)4.4化工应用应用1：根据PVT关系计算摩尔体积应用2：多组分溶液

3、体系的泡点应用3：绝热连续搅拌釜式反应器的转化率(自学)4.1.1二分(Bisection)法原理：设f(x)在区间[a,b]上连续，且有f(a)f(b)<0，则由连续函数介值定理，f(x)在[a,b]内必有零点，称[a,b]为方程f(x)＝0的有根区间。二分法：取[a,b]区间的中点x0=(a+b)/2。将区间[a,b]分成两半，然后逐步搜索求解，若f(x0)与f(a)同号，则令a1=x0，b1=b;反之，若f(x0)与f(a)异号，则令a1=a，b1=x0。这样得到新的有根区间[a1,b1]，其长度[

4、a,b]为之一半。特点：二分法计算简单，但是收敛比较缓慢；当存在多个实根时，则搜索策略要复杂很多。4.1.2简单迭代(Iteration)法迭代法是一种重要的逐次逼近方法，这种方法采用某个固定公式反复校正根的近似值，使其逐步精确化。求解方程f(x)=0的实根，将方程改写成等价形式：x=φ(x)，φ(x)是x的新函数，xk+1=φ(xk)称作迭代公式。假设x0是方程根的初始近似值，则代入迭代公式右端，求得x1，再将x1代入右端，求得x2,…，如此重复循环，即：x1=φ(x0)，x2=φ(x1)，…，xn=φ

5、(xn-1)采用不同的方法改写求解方程则得到不同的迭代公式，求解的收敛性也不同。简单迭代法的收敛性发散收敛4.1.3牛顿(Newton)法基本思想：将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解。Newton法是以曲线的切线与x轴的交点作为曲线与x轴的交点的近似。故Newton法又称为切线法。从几何上看，弦截法是以曲线上两点的割线与x轴的交点作为曲线与x轴的交点的近似，故弦截法又称为割线法。4.1.4弦截(Secant)法此外，割线的函数表达式恰为函数f(x)的以xk，xk-1，为节点的线性插值

6、多项式。用弦截法需要给出两个初始值x0，x1，通常取根所在区间的端点即可。4.1.5抛物线（Muller）法如果考虑用f(x)的二次插值多项式的零点来近似f(x)的零点，就导出抛物线法。迭代公式见教材P70。此法必须已知方程f(x)=0的根的三个近似值，以这三点为节点的f(x)的二次插值多项式如图所示，抛物线法的几何意义是以过曲线上三点的抛物线与x轴的交点作为曲线与x轴交点的近似。实际计算表明，抛物线法对初值要求并不苛刻。在初值不太好的情形下常常也能收敛。它的缺点是程序较复杂。4.2非线性方程组的解法解非

7、线性方程组的方法主要有两类：其中一类是线性化的方法，它是将方程组中的每个方程线性化得到一个线性方程组，由此构造迭代格式，求得非线性方程组的近似解。其代表是Newton法；另一类方法是将解非线性方程组问题化成优化问题，然后以最优化方法求解。最速下降法是其中最基本的方法。4.2牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)法考虑一个由两个方程构成的非线性方程组：考虑方程组在估计值（x1k，x2k）处的一阶Taylor展开式：将此方程组写成如下的矩阵-向量形式：由此可以得到新的估计值：若令：则方程求解过程可以写成

8、：牛顿－拉夫森法（Newton-Raphson）Newton-Raphson法非线性方程组的Jacobian矩阵计算过程的停止准则可以采用以下两种：当较大时，也可以用两次迭代的相对误差充分小作为停止准则。Newton-Raphson法举例Newton-Raphson法源程序function[x,fx]=newton(f,df,x0,TolX,MaxIter)TolFun=eps;xx1=x0;fx=feval(f,x0);fo