Chapter6_1_对分法和一般迭代法ppt课件.ppt

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1、第六章非线性方程的数值解法(NumericalMethodsForNon-linearEquation)我们知道在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如（1）在光的衍射理论（thetheoryofdiffractionoflight)中,我们需要求x-tanx=0的根（2）在行星轨道（planetaryorbits）的计算中,对任意的a和b，我们需要求x-asinx=b的根（3）在数学中，需要求n次多项式xn+a1xn-1+...+an-1x+an＝0的根引言/*Introduction*/abx1x2a1b2x*b1a2终止条件（terminationconditi

2、on）：或§1对分区间法/*BisectionMethod*/若f(x)C[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)上必有一根。原理误差分析：第1步产生的有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：例1解用二分法求在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过f(1)=-5<0有根区间中点xnf(2)=14>0(1,2)f(1.5)>0(1,1.5)x1=1.5x2=1.5f(1.25)<0(1.25,1.5)x3=1.375f(1.375)>0(1.25,1.375)x4=1.313f(1.313)<0(1.313,1.375)

3、x5=1.344f(1.344)<0(1.344,1.375)x6=1.360f(1.360)<0(1.360,1.375)x7=1.368f(1.368)>0(1.360,1.368)x8=1.364f(x)=x3+4x2-10所以x≈x8=1.364取x10=0.7729，误差为

4、x*-x10

5、<=1/211。kabkxkf(xk)符号0010.5000－10.5000－0.7500－0.7500－0.8750＋3－0.87500.8125＋4－0.81250.7812＋5－0.78120.7656－0.7656－0.7734＋7－0.77340.7695－80.7

6、695－0.7714－0.7714－0.7724－0.7724－0.7729＋求方程f(x)=x3–e-x=0的一个实根。因为f(0)<0,f(1)>0,故f(x)在(0,1)内有根用二分法解之，(a,b）=(0,1)计算结果如表：例2解Findsolutionstotheequationx3-6x2+10x-4=0ontheintervals[0,4]，Usethebisectionmethodtocomputeasolutionwithanaccuracyof10－7.Determinethenumberofiterationstouse..Remark1求奇数个根

7、[0,1],[1.5,2.5]and[3,4]，利用前面的公式可计算迭代次数为k=23.Considerf(x)=tan(x)ontheinterval(0,3).Usethe20iterationsofthebisectionmethodandseewhathappens.Explaintheresultsthatyouobtained.(如下图)Remark2要区别根与奇异点Remark3二分发不能用来求重根f(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点§2单个方程的迭代法f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯一的,有的收敛,有的发散Fore

8、xample：2x3-x-1=0一、不动点迭代由此可见，这种迭代格式是发散的则迭代格式为(1)如果将原方程化为等价方程取初值(2)如果将原方程化为等价方程仍取初值x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000已经收敛,故原方程的解为x=1.0000同样的方程⇒不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法能够收敛呢?依此类推,得二、收敛性分析若存在常数(0≤<1),使得对一切x1,x2∈[a,b]成立不等式

9、g(x1)-g(x2)

10、≤

11、x1-x2

12、,则称g(x)是[a,b]上的一个压缩映射,称为压缩系数.定义1考虑方程x=

13、g(x),g(x)C[a,b],若(I)当x[a,b]时，g(x)[a,b]；(II)在[a,b]上成立不等式:

14、g(x1)-g(x2)

15、≤

16、x1-x2

17、则（1）g在[a,b]上存在惟一不动点x*（2）任取x0[a,b],由xk+1=g(xk)得到的序列{xk}（[a,b]）收敛于x*（3）k次迭代所得到的近似不动点xk与精确不动点x*有有误差估计式：定理1

18、xk-x*

19、=

20、g(xk-1)-g(x*)

21、≤

22、xk-1-x*

23、≤2

24、xk-2-x*

25、≤…≤k

26、x0-x*

27、0

28、x*-x’

29、=

30、g(x*)-g(x’)

31、≤

32、