数学分析考试课件.ppt

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1、第一章、复数与复变函数第二节复平面1、平面点集的几个概念2、区域与若当曲线第二讲一.平面点集的几个基本概念:①z0的ρ-邻域：以z0圆心，ρ为半径的ρ-圆盘Nρ(z0)定义为：②点z0的去心ρ邻域Nρ(z0)-{z0}定义为：③z0的ρ-闭邻域定义为：1.邻域：设2.聚点、孤立点、内点、边界点:中有无穷个点，则称a为E的聚点或极限点；②孤立点：若a属于E而不是聚点，则称a为E的孤立点；③外点：若a既不属于E也不是E的聚点则称a为E的外点；则称a为E的内点；中既有属于E的点又有不属于E的点，则称a为的E边界点。①

2、聚点：④内点：⑤边界点：3.开集、闭集、有界集:①导集：②内部：③边界：④开集：所有点为内点的集合；⑤闭集：E包含了它的所有聚点；⑥E的闭包：记为注：Ⅰ、没有聚点的集合是闭集；Ⅱ、任何集合的闭包一定是闭集；则称E是有界集，即对任意的有，⑧无界集：否则称E是无界集；⑨紧集：复平面上的有界闭集称为紧集。⑦有界集：如果存在r>0，使得4.点与集合关系图示注意：孤立点一定属于E，且是边界点。集合E＝开圆环并上81个离散点，如下图：5.聚点的等价定义a为E的聚点或极限点；a的任何领域含有E的无穷多个点；a的任何领域含有E

3、中的异于a的点；a的任何领域含有E的两个点；存在E中点列{zn}使得对任意的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N(ε),有

4、zn-a

5、<ε.6.区域、曲线:复平面C上的集合D，如果满足：（1）D是开集；（2）D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。则称D是一个区域。称为闭域，注意区域总是开的，不含边界。结合前面的定义，可以定义有界区域、无界区域。区域折线上的所有点完全属于D闭区域7.区域的例子:例1、圆盘Nρ(a)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例2、集合{z

6、

7、

8、z-a

9、=r}是以为a心，r为半径的圆周，它是圆盘Nρ(a)和闭圆盘的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界闭集，复平面也是无界开集。例4、对于去心圆盘Nρ(a)-{a},圆心a是E的边界点，它是E边界的孤立点，是集合E的聚点。8.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数∞来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.9.扩充复平面上的几个概念①无穷远点的邻域:

10、②无穷远点的去心邻域:注1：注2类似地，我们可以定义聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。我们也称扩充复平面为复平面的一点紧化。10.扩充复平面性质:在扩充复平面上，不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。注意：加上无穷远点后，许多性质将有很多变化。11.连通性:上述区域概念中的性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。D=A∪B不是区域是开集D=A∪B不是区域是闭集如图：A表示带边界的圆盘，B表示直线段二.曲线、若当曲线：设复数方程如果x(t)和y

11、(t)都是闭区间[α,β]上连续函数，则称其所决定的点集为z-平面上一条连续曲线，记为C，z(α)，z(β)分别称为曲线C起点和终点。如果对[α,β]上任意不同两点t及s，但不同时是C的端点，我们有:即是一条除端点外不自交的连续曲线，称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z(α)=z(β)，则C称为一条简单连续闭注：无重点——若当曲线若当闭曲线简单闭曲线非若当曲线若当曲线简单曲线曲线，或若尔当闭曲线。例1解1.若尔当定理:定理1.1（若尔当定理）：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一

12、个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。有界简单闭区域边界曲线的定向：右手螺旋系定正向。2.曲线长度:定义1.8设连接弧AB的参数方程为并且考虑弧AB上对应的点列3.光滑曲线:光滑曲线：如果x(t)和y(t)都在闭区间[α,β]上连续，且有连续的导函数，在[α,β]上，其导函数x’(t)、y’(t)恒不全为零，则称此曲线为一条光滑曲线；如果还有z(α)=z(β)，x’(α)=x’(β)，y’(α)=y’(β)，则称其为光滑闭曲线。类似地，可以定义分段光滑曲线。设复数方程4.单连通区域:设D是一个区域，在复平面

13、C上，如果D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;否则称D是多连通区域。例2.集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线：即，事实上，例3.集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：例4.集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：例5.集合:为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆：满足下列条件的点集是什么,如