简谐运动的能量.doc

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1、§14－5简谐运动的能量EnergyofSimpleHarmonicVibration引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。一、简谐运动的能量1．能量表达式（1）推导以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则则系统动能为：系统势能为：因而系统的总能量为考虑到，则（2）结论弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。（3）解释由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。（4）说明1）E∝A2，对任何简谐运动皆成立

2、；2）动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。动能Ek=E-Ep2．能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。二、能量平均值定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T内的平均值定义为因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。三、应用1．应用1——记忆振幅公式由能量守恒关系可得：kA2/2=mv02/2+kx02/2解之即得：2．应用2——推导简谐运动相关方程

3、在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。此方法对于研究非机械振动非常方便。例1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即两边对时间求导，得即令，则其解为代入守恒方程可得A=A’例2．劲度系数为k、原长为l、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。解：取物体

4、受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设m

5、微小运动时，弹簧振子的运动可以认为是简谐运动，振动周期为因而，周期比不计弹簧质量时要大。不过当m=M时，与严格计算结果相比较，误差也是不大于1％。§14－6简谐运动的合成CompositionofSimpleHarmonicVibration引言：在实际问题中，振动系统常常参与多个振动。本节讨论一个物体同时参与两个或两个以上振动的合成问题。振动的合成在声学、光学、无线电技术与电工学中有着广泛的应用。本节主要讨论简单的情况。原理：振动的合成符合叠加原理，振动也具有矢量性——是通过振动的方向与相位反映出来的。一、同方向同频率简谐运动的合成问题

6、：某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动合振动1．应用解析法：令：，则：2．应用旋转矢量法：大小不变，且以共同角速度ω旋转，它们的相对位置不变，即夹角保持不变，所以合振动的振幅A大小不变，也以角速度ω绕O作逆时针旋转，故合成振动也是简谐运动。圆频率：ω合振幅：初相位：合振动：3．讨论：1）合振动仍然是简谐运动，且频率仍为ω；2）合振动的振幅不仅与A1、A2有关，而且还与相位差有关。若，则即两个分振动同相时，合振幅等于分振幅之和。若，则即两个分振动反相时，合振幅等于分振幅之差的绝对值。一般情况下，合振动的振幅则在与之间。3）上述

7、结论可以推广到多个同方向同频率简谐运动的合成，即合振动：也是简谐运动和也可以用一般矢量求和的方法得到。二、同方向不同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐运动合振动由于相位差随时间变化，故合振动的振幅也随时间而变化，不是简谐运动。这里只讨论，的情形，即两个频率相差很小，此时由于随时间变化比要缓慢得多，因此可以近似地将合振动看成是振幅按缓慢变化得角频率为的“准周期运动”。这种两个频率都较大但两者频差很小的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍频（beat）。即合振动的频率为：合振幅

8、变化的周期：拍频：用旋转矢量法理解：假设，所以比转动得快，当转到与反方向位置时，合振幅最小；当转到与同方向位置时，合振幅最大，并且这种变化是周期性的。拍的应用：l用音叉的振动来校准乐器；l利用