等分圆周的分类.doc

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1、等分圆周的分类等分圆周是尺规作图的一小部分的内容，把一个圆周分成n等份，就可以作出圆内接或外切正n边形，即有趣又实用的几何作图问题。等分圆周分成两大类的作图法：一类是能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，例如：二等分圆周、三等分圆周、四等分圆周、五等分圆周、六等分圆周、八等分圆周、十等分圆周、十二等分圆周、十七等分圆周等等；二类是不能用尺规准备作出等分圆周的问题，即用尺规等分圆周的近似作图的问题，有四种方法能近似作出等分圆周，例如：1、莱纳基法；2、陀因皮耶法；3、改良法；4、对称、对应中心投影法等等。根据自己在读大专时，已经学习过几何作图这本书，对这本书里

2、面的内容也掌握地比较好，再加上自己对作用也比较感兴趣，另外在这学期，自己也学习本科开设的初等几何研究的课程。所以自己对一些等分圆周的作图还是掌握地比较好，现在介绍自己学习过的等分圆周的作图。一、能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，而且这些作法的正确性能用平面几何去证明。1、二等分圆周的尺规作图例1、已知：一个圆。求作：圆的二等分。作法：(1)作圆O；(2)作圆的直径AB；证明：因为角AOB为180°，所以A、B是圆O的二等分点。2、三等分圆周的尺规作图例2、已知：一个圆。求作：圆的三等分。作法：(1)作圆的直径AD；(2)以D为圆心、OD为半径作圆，交圆于

3、B、C两点；(3)连结AB、AC、BC；则三角形ABC为所求作圆的内接正三角形，即A、B、C圆的三等分。证明：连结CO、CD,由作图可知圆O和圆D的半径相等，从而有OC=OD=CD=1/2AD,因为三角形是圆O的内接三角形，AD是圆O的直径，所以三角形是直角三角形，所以角CAD=30°；同理：角BAD=30°，所以角BAC=60°；又因为AD是圆O和圆D两圆的圆心连线，CB是圆O和圆D的公共弦。所以AD垂直平分CB；所以AB=AC;所以三角形是等边三角形，即把圆三等分。3、四等分圆周的尺规作图例3、已知：一个圆。求作：圆的四等分。作法：在二等分圆周的基础上

4、，再把每一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便四等分圆周了。4、五等分圆周的尺规作图例4、已知：一个圆。求作：圆的五等分。作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径AZ、XY；(2)作出半径OY的中点M，以M为圆心、MA为半径画弧，交OX于N;(3)以A为圆心、AN为半径画弧，交弧AX于E;(4)连结AE;则弧AE为圆O的一段五等分弧，角AOE是一个圆角的五分之一。证明：设圆的半径为R，在直角三角形AON中，由上述的物边形作图可知：AN平方=AO平方=ON平方=AO平方+(AM-OM)平方；而AO=R,OM=R

5、/2,AM=[R平方+(R/2)平方]开根号，所以AN=1/2根号[10-2根号5]R.又因为AN=AE,所以AE=AN=1/2根号[10-2根号5]R是半径为R的圆内接正五边形的边长，即把圆五等分。5、六等分圆周的尺规作图例5、已知：一个圆。求作：圆的六等分。作法：(1)作圆O及其直径AD；(2)分别以A、D为圆心、以圆O为半径OA为半径画弧交圆O于B、F、C、E四点；(3)依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA；则六边形ABCDEF为所求作圆的内接六边形，即A、B、C、D、E、F圆的六等分。证明:连结OB、OC、OE、OF，因为AB=OA=AB,所

6、以角AOB=60°，同理:角DOE=角COD=角AOF=60°。因为角AOD=180°，所以角BOC=角EOF=60°。所以角AOB=角BOC=角EOF=角DOE=角COD=60°。所以A、B、C、D、E、F圆的六等分。6、八等分圆周的尺规作图例6、已知：一个圆。求作：圆的八等分。作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径AC、BD；(2)分别作角AOB和角AOD的平分以及它们的反向延长线交圆O于E、F和G、H；(3)则A、E、B、H、C、G、D、F圆的八等分点。7、十等分圆周的尺规作图例7、已知：一个圆。求作：圆的十等分。作法：在五等分圆周的基础上，再把每

7、一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便十等分圆周了。8、十二等分圆周的尺规作图例7、已知：一个圆。求作：圆的十二等分。作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径AC、BD；(2)分别以A、B、C、D为圆心，以OA为半径作弧交圆O的八个点:E、F、G、H、Q、P、M、N；则A、E、M、D、N、H、B、G、P、C、Q、F十二个点便是圆的十二等分点。9、十七等分圆周的尺规作图例7、已知：一个圆。求作：圆的十七等分。作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径AC、BD；(2)作点E,使EO=1/4AO,连结CE;(3)作

8、角CEB的平分线EF;(4)作角FEB的平分线EG,角CO于P;(