第八章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

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1、第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间中两直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面

2、直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：.(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个三个公理的应用(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；(2)公理2及其推论

3、是判断或证明点、线共面的依据；(3)公理3是证明三线共点或三点共线的依据．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(必修2P41公理1改编)公理1用数学符号表示正确的是(　　)A．A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l∈αB．A⊂l，B⊂l且A⊂α，B⊂α，则l⊂αC．A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂αD．A∈l，B∈l且A⊂α，B⊂α，则l⊂α答案：C2．(必修2P43练习T1改编)下列命题正确的是(　　)A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的

4、三条直线确定一个平面解析：选D.A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定平面；B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的．3．(必修2P47例3改编)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1B所成的角为(　　)A．30°　　　　　　　B．45°C．60°　　　　　　　D．90°解析：选C.连接A1C1与BC1(图略)，由正方体性质知AC∥A1C1.则∠BA1C1即为AC与A1B所成的角，且A1C1＝A1B＝BC1.∴∠BA1C1＝60°

5、.故选C.4．(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．(必修2P51A组T5改编)已知直线a∥直线b，直线m与a，b分别交于点A，B.求证：过a，b，m有且只有一个平面．证明：∵a∥b，∴过a，b

6、有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，∴m⊂α，a，b，m共面于α.设过a，b，m有一个异于α的平面β，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β.这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相矛盾．∴过a，b，m有且只有一个平面．　　　　　　平面基本性质的应用(1)如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.①求证：E，F，G，H四点共面；②设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．(2)如图所示，正方

7、体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．[解]　(1)证明：①∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，＝＝，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．②∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．(2)如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F，交DA的延长线于一点P，则P∈平面BED1

8、F.因为DA⊂平面ABCD，所以P∈平面ABCD，所以P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点．又B是两平面的一个公共点，所以PB为两平面的交线．(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．(2)要证明点共线或线共点