第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

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1、第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：(2)异面直线所成的角：①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：．(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两

2、个角相等或互补．3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个　　[做一做]1．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是(　　)A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A答案：C2．若直线a∥b，b∩c＝A，则直线a与c的位置关系是(　　)A．异面　　　　　　　　　B．相交C．平行D．异面或相

3、交答案：D1．辨明三个易误点(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．(3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．2．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．3．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．[做一做]3．下列命题正确的个数为(　　)①经过三点

4、确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A．0　　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析：选C.经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)解析：选D.A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．__平面的基本性质______________________　如图

5、所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．[证明]　(1)连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1，又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．[规律方法]　(1)证明四点共面的基本

6、思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．(2)要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．　1.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，＝＝，∴

7、GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．__空间两直线的位置关系______________　如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[解]　(1)不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1