第五章-留数定理习题及其解答.doc

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1、第五章留数定理习题及其解答5.1设有,能否说为本性奇点?为什么?答：这个级数由两部分组成：即。第一个级数当即时收敛,第二个级数当即时收敛。于是所给级数在环域内收敛(成立),且和函数。显然是的解析点。可见此级数并非在的去心领域内成立。故不能由其含无限多个负幂项断定的性质。注：此例说明，判断孤立奇点类型虽可从的Laurent展开式含有负幂项的情况入手，但切不可忘掉必须是在去心领域内的Laurent展式，否则与是什么性质的点没有关系。5.2设在全平面解析，证明：若为的可去奇点，则必有（常数）；若为的级极点，则必为次多项式：；除此之外，在处的Taylor展式必有无限多项系数。证：因为在全平面解析，所

2、以在邻域内Taylor展式为且。注意到这Taylor级数也是在去心邻域内的Taylor级数。所以，当在的可去奇点<═>在去心邻域内Laurent展示无的正幂项,即。故(常数)；当为的级极点在去心邻域内Laurent展示中只含有限个的正幂项,且最高正幂为次（）。即为次多项式；除去上述两种情况,为的本性奇点在去心邻域内Laurent展开式中含有无限多个正幂项,因此在中，有无限多个项的系数不为0。注(1).对本题的结论,一定要注意成立的条件为在全面解析，否则结论不成立。例：在内解析(与全平面解析仅差一个点!)，且以为可去奇点，但又在内解析,且以=为一级极点，但它并不是一次多项式，也不可能与任何一次

3、多项式等价(它以=0为本性奇点)。同样地，在内解析，以为本性奇点，但它不是超越整函数，(它不是整函数)；(2).本题证明完全依赖于无穷远点性态的分类定义，同时注意，全平面解析的函数在邻域内Taylor展示的收敛半径R=+，从而此Taylor展示成立的区域恰是的去心领域，即同一展示对而言即是其去心领域内的Laurent展式。5.3证明：如果为解析函数的阶零点，则必为的阶零点。(>1)证因为在点解析，且为其阶零点。故在的邻域内Taylor展式为其中由Taylor级数在收敛圆内可逐项微分性质有右端即为在内的Taylor展开式，由解析函数零点定义知，以为阶零点。注本证明仅用到解析函数零点定义及幂级数

4、在收敛圆内可逐项求导的性质.5.4判断下列函数在无穷远点的性态1)2）3）4）解1)因为在内解析，且所给形式即为它在该环域内的Laurent展式，所以为的一级极点(为一级极点).2)因为在内解析，且在此环域内有即在的去心邻域里的Laurent展式中含有无限多个的正幂项，故为的本性奇点（0为二级极点）。3)因为在处解析，以为本性奇点。在中令，得。为的本性奇点，即为的本性奇点。4)令，得，即。∴为的零点，且∵∴为的一级极点。且，故，为的非孤立奇点。注当为孤立奇点时,一般直接从函数在的去心邻域内的Laurent展示入手,判断其类型，但对3)，因有一定的特性，故可利用这一特性进行判断。5.5.求出下

5、列函数的奇点，并对孤立奇点指出类型。１）　２）　３）　４）　５）　６）（答　１）０，均为本性奇点；２）０为一级极点，为本性奇点；３）０为一级极点，为本性奇点；４）为唯一奇点，且为本性奇点；５）０为非独立奇点，为一级极点，为可去奇点；６）０为可去奇点，为本性奇点）。5.6计算下列各函数在指定点的留数：1)2)，在处。解1)因为为的一级极点，故由留数计算规则有对，由留数计算规则有又在扩充复平面内仅有孤立奇点，故留数和为0，于是可得2)，由留数定义，等于在处Taylor展式中项的系数。有∴注意于扩充复平面内仅有两个奇点，其留数和为0，故。5.7计算下列函数在处的留数1)；2)在解1)在扩充平面仅有

6、两个奇点。注意在内Taylor展式中只有偶次项。故在内Laurent展式中无项，即。且环域也是的去心邻域。故上述展式也是处的Laurent展式。因此2)，为自然数。由留数定义知，等于在内Lauernt展式中的系数。注意在该环域有5.8计算【答案5.9.求下列函数在指定点的留数1）在点。　２）在点。　　３）在点。（答：1）１；２）－１；３）０；）5.10计算函数的留数。【解】∵为的一级极点，（）∴为求，注意为自然数，只要求在点邻域Taylor展式中的系数即可∵∴，故又由于扩充复平面仅有奇点，故5.11计算下列积分1）2）解1）因为积分路径位于环域内，且围绕，简单、正向、闭，在该环域内解析，故可

7、知所求积分为其中为在环域内Lauernt展式项的系数。因此时，（上述展式中无偶次幂项）.时，时，（无偶次幂项）.时，2)同1）道理，但积分路径位于环域内，且围绕，简单、正向、闭，在此环域内解析。所以其中为在环域内Laurent展式中项系数。因而时，时，时，（展式中无偶次幂项）5.12计算下列积分（积分路径均为正向）；解因为在内解析。路径位于该环域内，围绕，简单、正向、闭，故由留数定义有这里为在内Laurent