第4章--数学规划模型-姜启源.doc

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1、第4章数学规划模型在上一章中我们看到，建立优化模型要确定优化的目标和寻求的决策。用表示决策变量，表示目标函数。实际问题一般对决策变量的取值范围有限制，不妨记作∈Ω，Ω称为可行域。优化问题的数学模型可表示为Ω在第3章x通常是1维或2维变量，Ω通常是1维或2维的非负域。实际中的优化问题通常有多个决策变量，用维向量表示，目标函数是多元函数，可行域Ω比较复杂，常用一组不等式（也可以有等式）≤0(=1,2,…,)来界定，称为约束条件。一般地，这类模型可表述成如下形式s.t.≤这里的s.t.(subjectto)是“受约束于”的意思。显然，上述模型属于多元函数的条件极值问

2、题的范围，然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数和约束条件个数一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划是解决这类问题的有效方法。需要指出的是，本章无意涉及数学规划（或运筹学）的具体计算方法，仍然着重于从数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型，并且在用现成的数学软件求解后，对结果作一些分析。4．1奶制品的生产和销售企业内部的生产计划有各种不同的情况。从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流

3、程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。本节选择几个单阶段生产计划的实例，说明如何建立这类问题的数学规划模型，并利用软件求解的输出对结果作一些分析。例1加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤。根据市场需求，生产的，全部能售出。且每公斤获利24元，每公斤获利16元。现在加工厂每天得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为48

4、0小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤，设备乙的加工能力没有限制。试为该场制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1)若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3)由于市场需求的变化，每公斤的获利增加到30元，应否改变生产计划？问题分析这个优化问题的目标是使每天获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产，用多少桶牛奶生产（也可以是每天生产多少公斤，多少公斤），决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备

5、甲的加工能力。按题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。基本模型决策变量：设每天用桶牛奶生产，用桶牛奶生产。目标函数：设每天获利为元。桶牛奶可生产3公斤，获利24×3，桶牛奶可生产4公斤，获利16×4，故。约束条件：原料供应生产，的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即≤50桶；劳动时间生产，的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即≤480小时；设备能力的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即≤100；非负约束,均不能为负值，即≥0,≥0综上可得(1)s.t.≤50(2)≤480(3)≤100(4)≥0,≥0

6、(5)这就是该问题的基本模型。由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划（LinearProgramming,简记作LP）。模型分析与假设从本章下面的实例可以看到，许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划（特别是在像生产计划这样的经济管理领域），这不是偶然的。让我们分析一下线性规划具有哪些特征，或者说：实际问题具有什么性质，其模型才是线性规划。·比例性每个决策变量对目标函数的“贡献”，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比。·可加性各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其它决策变量的

7、取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其它变量的取值无关。·连续性每个决策变量的取值是连续的。比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性，连续性则允许得到决策变量的实数最优解。对于本例，能建立上面的线性规划模型，实际上是事先作了如下的假设：1)，两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工A1，A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；2)，每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出，的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；3)加工，的牛奶的桶数可以是任意实数。这3条假设恰好保

8、证了上面的3条性质。当然，在现实生活中