2019高等数学第十一章无穷级数ppt课件.ppt

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1、第十一章无穷级数常数项级数一、常数项级数定义及性质2．敛散性定义3．性质必要性:线性运算性质:则级数收敛，否则级数发散。设级数为常数则设，如果存在，级数收敛1．常数项级数3．常数项级数类型正项级数交错级数任意项级数常数项级数二、判别常数项级数收敛的解题方法若成立，则需作进一步的判别。判别常数项级数的敛散性，应先考察是否有成立。若不成立，则可判定级数发散；此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别；若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用

2、莱布尼兹判别法，若能判别级数收敛，则原级数条件收敛；对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、性质等判别。解题方法流程图如下图所示。对于任意项级数，一般应先考虑正项级数是否收敛。若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛；解题方法流程图Yes判断的敛散性比值法根值法比较法找正项收敛级数找正项发散级数用其它方法证明No莱布尼兹判别法YesNoNoNoYesNoYesNoYes为正项级数为任意项级数发散收敛收敛发散条件收敛绝对收敛为交错级数收敛且一、幂级数1．幂级数的基本概念(1)幂级数的定义：(2)收敛半径：或收敛区间：存在正数当幂级

3、数收敛，当幂级数发散，称为幂级数的收敛半径。函数项级数收敛域：收敛点的全体2．幂级数和函数的性质（1）连续性：（2）可导性：（3）可积性：(3)幂级数的和函数：3．幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即型、型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。对于型，通过求，得半径，然后讨论处的敛散性，从而得收敛域；对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论处的敛散性，从而得收敛域。解题方法流程图如下。对于型，令,化为型,可得收敛域；解题方法流程图求幂级数收敛域判别幂级数类型收敛域收敛域令讨论处的敛散性，，

4、其它讨论处的敛散性当时收敛当时发散用比值法令1234．幂级数和函数的求法求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先积分后求导”等技巧，并利用与形如（或等）幂级数的和函数，求出其和函数。解题方法流程图如下图所示。求的和函数令NoYesYesNo能直接求出和函数恒等变换直接求和逐项积分逐项求导逐项求导逐项积分Yes能直接求出和函数NoYesNo能直接求出和函数解题方法流程图二、函数的泰勒级数1．泰勒级数定义：称为在点的泰勒级数。2．麦克劳林级数定义：称为的麦克劳林级数。3．将函数展开成泰勒级数

5、(幂级数)直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶导数，写出泰勒展开式。间接展开法：间接展开法通常要先对函数进行恒等变形，然后利用已知展式（如函数，的展开式等）或利用和函数的性质（求导数或积分），将函数展开成幂级数。求的幂级数展开式关于的幂级数对求导对积分令将展成的幂级数求直接展开法间接展开式对进行恒等变形能利用已知展开式令令写出的展开式Yes关于的幂级数NoNo解题方法流程图几个重要函数的麦克劳林展开式三、傅里叶级数1．傅里叶级数的类型：且在（1）傅里叶级数：设是以为周期的函数，上可积，称为傅里叶级数，其中称为傅里叶系数。（2）正

6、弦级数：（3）余弦级数：2．收敛定理（狄利克雷充分条件）：设是以为周期的函数，如果它满足条件：在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则的傅里叶级数收敛，并且：①当是的连续点时，级数收敛于；②当是的间断点时，收敛于。3．如何把函数展开成傅里叶级数把给定的函数展开成傅立叶级数，首先要判断是否为周期函数；如果以为周期，那么在定义域内，可把展开成为周期的傅立叶级数；的特点（或），对进行周期延拓、奇延拓展开成为周期的傅立叶级数、或偶延拓，再把正弦级数或余弦级数，最后限制在定义域上。如果不是以为周期的函数，则要判别定义域将

7、展开成付氏级数确定在上的解析式展成余弦级数展成正弦级数对进行偶延拓利用收敛定理标明成立范围对进行奇延拓利用收敛定理标明成立范围确定在上的解析式确定在上的解析式利用收敛定理标明成立范围对进行周期延拓利用收敛定理标明成立范围YesNoNo以2l为周期解题方法流程图三、常数项级数典型例题，由定义所以原级数收敛，且和为1。【例1】判别级数的收敛性，并求级数的和。分析：此级数为正项级数，由于因此可利用定义求。解：由于由级数收敛的必要条件，原级数发散。【例2】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数，因为分别求分子、分母的极限不为0，由级数收敛的必要条

8、件，原级数发散。解：因为而故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。【例3】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数，根据的形式，可用比较审敛法，也可采用比值审敛法。解法1：此级数为