高等数学-第十二章-无穷级数ppt课件.ppt

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1、无穷级数从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier展开式；难点常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法，Fourier展开，级数求和；基本要求①掌握

2、级数敛散性概念和性质②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法③掌握交错级数的Leibniz审敛法④掌握绝对收敛和条件收敛概念⑤掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的幂级数的和函数⑥熟记五个基本初等函数的Taylor级数展开式及其收敛半径⑦掌握Fourier级数概念，会熟练地求出各种形式的Fourier系数⑧掌握奇、偶函数的Fourier级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积二、级数的概念1.级数的定义:一般项(常数项)无穷级数级数的部分和部分和数列2.级数的

3、收敛与发散:余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第次分叉：周长为面积为于是有雪花的面积存在极限（收敛）．结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．解收敛发散发散发散综上解三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.证明注意收敛级数去

4、括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散事实上，对级数任意加括号若记则加括号后级数成为记的部分和为的部分和记为则由数列和子数列的关系知存在，必定存在存在未必存在四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件:证明注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要条件不充分.讨论2项2项4项8项项由性质4推论,调和级数发散.由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分以1为底的的矩形面积把每一项看成是以为高就是图中n个矩形的面积之和即故调和级数发散调和级数的部分和五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法思考题思考题解答能．由柯西审敛原理即知．观察雪花分形过程第一次分叉

5、：依次类推12345练习题练习题答案常数项级数审敛法在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题2.正项级数收敛的充

6、要条件:部分和数列为单调增加数列.定理3.比较审敛法证明即部分和数列有界不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.解由图可知重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法证明4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;证明由比较审敛法

7、的推论,得证.解原级数发散.故原级数收敛.证明收敛发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.直接从级数本身的构成——即通项来判定其敛散性两点注意:解比值审敛法失效,改用比较审敛法例5解由于不存在，检比法失效而对由检比法得收敛故由比较审敛法知收敛例6解由检比法得级数收敛级数发散检比法失效，但即后项大于前项故级数发散证明取则由知由收敛及比较审敛法得收敛收敛由知故不趋于0发散不能判定如都有但收敛发散级数收敛.二、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.证明满足收敛的两个条件,定理证毕.解原级数收敛.证明un单调减的方法？？？三、绝对收敛与条件收敛定

8、义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明上定理的作用：任意项级数正项级数