二维随机变量及其分布 ppt课件.ppt

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1、多维随机变量的引入§3.1二维随机变量及其分布一.联合分布函数定义设随机试验E的样本空间为，对于每一样本点，有两个实数X(),Y()与之对应，称它们构成的有序数组(X,Y)为二维随机变量.注1：X，Y都是定义在上的随机变量，有ωΩx=X(ω)y=Y(ω)例如,为描述一个人的身材特征,用身高H和体重W来描述.假设={电子科大全体学生},任选1名学生∈,相应的身高和体重是H()与W().即一个样本点对应着两个变量,(H,W)是定义在上的二维随机变量.定义对任意实数对(x,

2、y)∈R2，称二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}为(X,Y)的联合分布函数.注2记事件{X≤x,Y≤y}={X≤x}∩{Y≤y}0yx联合分布函数几何意义(X,Y)x1x2y2y10yx一维随机变量X、Y的分布函数FX(x)与FY(y)称为(X,Y)的边缘分布函数.由联合分布函数可确定边缘分布函数思考能否由边缘分布函数确定联合分布函数？练习（X,Y）的联合分布函数为联合分布函数的性质1.单调不减性F(x,y)分别对x,y单调不减.2.有界性：0≤F(x,y)≤13.右连续性F(x,y)分

3、别关于x或y右连续.0参见教材P64例3.1.14.相容性：对任意x1

4、二维离散型随机变量，称式(*)为(X,Y)的联合分布律.由联合分布律确定随机变量X,Y的分布律联合分布函数为用表格表示联合分布律和边缘分布律思考能否用边缘分布律来确定联合分布律，原因是什么？(参见教材P66例3.1.3和例3.1.4)多维随机变量的联合分布不仅与每个分量的边缘分布有关，而且还与每个分量之间的联系有关！例3.1.2例3.1.1三.联合概率密度定义二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)使得对任意实数对(x,y)，有称(X,Y)是连续型随机变

5、量，称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度.密度性质这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准5)关于X和Y的边缘概率密度为带参变量的积分例3.1.3例3.1.4例3.1.5求解边缘概率密度,是求解含参变量积分问题.难点:定积分的上下限.解决方法:借助于图形讲义P70页例3.1.7是通过讨论f(x,y)的非零区域来求解.四.二维均匀分布设GR2,面积为S(G),若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为则称(X,Y)在G上服从均匀分布.1.(X,Y)在G上服从均匀分布,设DG则有G

6、D面积为S(G)面积为S(D)概率值与区域D的形状、位置等均无关,只与D的面积有关。2.设X~U(a,b)，(c,d)(a,b)则借助于几何度量指标(长度,面积,体积等)计算概率,可建立“几何概型”.例3.1.6例3.1.7五.二维正态分布定义二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为称(X,Y)服从二维正态分布，记为命题3.1.1若～见P72例3.1.10～例炮弹发射试验炮弹在地面的命中点位置要由两个随机变量(X,Y)来确定.例飞机在空中的位置要由三个随机变量(X,Y,Z)来确定.例电子放大器的

7、干扰电流由其振幅和相位两个随机变量来确定.例3.1.1在1,2,3,4中随机取出一数X,再随机地从1~X中取一数Y，求(X,Y)的联合分布律.解X的分布律为4321XP{X=x}3/487/4813/4825/4811/41/41/41/4i,j=1,2,3,4.1/161/161/161/16401/121/121/123001/81/820001/414321YX例3.1.2(二维两点分布)用剪刀随机的去剪一次悬挂有小球的绳子.剪中的概率为p(0

8、示剪中绳子的次数;Y表示小球下落的次数.求(X,Y)的联合分布函数.(1,1)xyO称(X,Y)服从二维两点分布见讲义P67例3.1.5.例3.1.3已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为试写出(X,Y)的联合分布函数。y1f(x,y)的非零区域x01解F(x,y)=01)当x≤0,或y≤0时2)当0≤x,y≤1时xy011f(x,y)的非零区域3)当0≤x≤1,y≥1时4)当0≤y≤1,x≥1时xy011f(x,y)的非零区域5)当1≤y,x≥1时综上所叙得例3.1.4已知二维随机变量