二维随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、第三章多维随机变量及其分布定义:把n个随机变量的整体称为n维随机变量或n维随机向量。同时投掷两个骰子，观察两个骰子出现的点数。设第一个骰子出现的点数为X，第二个骰子出现的点数为Y，则X可能取值为1，2，3，4，5，6，Y也可能取值为1，2，3，4，5，6，则两个骰子出现的点数(X,Y)就是二维随机变量.引例一炮弹命中点的平面位置要由水平距离X和垂直距离Y来确定，则炮弹命中点的平面位置（X,Y)也是二维随机变量.引例二一炉钢的综合质量至少要由钢的硬度(X),含碳量(Y),含硫量(Z)等多个变量来描述，则一炉钢的综合质量至少

2、要用三维随机变量（X,Y,Z）来表示.引例三一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.第一节二维随机变量及其分布一、二维随机变量定义3.1.1设E是随机变量，是其样本空间，和是定义在上的两个随机变量，由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量二、联合分布函数它表示点（X,Y)落在下图阴影部分中的概率（图1）1、定义3.1.2则即（图2）事实上，由图2可看出关系式例1<1><2>3.联合分布函数的性质<3><4><5>矩形不等式对于任意的(x1,

3、y1),(x2,y2)R2,(x1

4、2件是次品，从中随即抽取两次，每次取一件，取后不放回.以X表示第一次取到的次品件数,以Y表示第二次取到的次品件数，求随机变量（X,Y）的概率分布.四.二维连续型随机变量复习一维连续型随机变量定义:设X为一个随机变量,如果存在非负的函数f(x),使得对任意,都有则称X为连续型随机变量,其中f(x)称为X的概率密度函数.1.定义3.1.4:设(X,Y)是二维随机变量,如果存在一个非负的函数f(x,y),使得对任意的实数x,y,都有则称(X,Y)为二维连续型随机变量.其中f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度函数,简称为(X

5、,Y)的联合概率密度或联合分布密度.2.二维随机变量分布密度性质：因为连续型随机变量（X,Y）落在整个XOY平面上是必然事件，所以复习一维随机变量分布密度性质(3)在的连续点处有(4)二维连续型随机变量（X,Y）落在平面区域D上的概率可用如下公式表示，即(X,Y)落在小矩形区域的概率为例5：设求:P(X>Y)解：如图求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。例6设解(1)由归一性(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。

6、解3.二维连续型随机变量的两种重要分布（1）均匀分布定义3.1.5例注意到，(2)二维正态分布定义3.1.6例7：设(X,Y)在上服从均匀分布，求其分布函数F(x,y).解：由于区域D的面积为6，所以(X,Y)的联合概率密度为4、举例(2)当(1)当yxXY230(x,y)XY230(3)当(4)当(5)当XY230XY230XY230F(x,y)=0x<0或y<0xy/6x/3y/21综上所述解：（1）由可得即例：参见书中例3.1.2在x,y的其它取值处F(x,y)=0,(2)(3)如图0xy21y=2-2x思考.设(

7、X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y<2X}；(3)求F(0.5,0.5)重点掌握：二维离散型随机变量的概率分布、二维连续型随机变量联合概率密度二维随机变量联合分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量二维随机变量（X,Y）联合分布离散型i,j=1,2,…X和Y的联合概率函数k=1,2,…离散型一维随机变量Xk=1,2,…X的概率函数连续型一维随机变量XX的密度函数二维随机变量（X,Y）连续型X和Y的联合密度函数二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数X的分布函数一维随机变

8、量X