函数的单调性与最值ppt课件.ppt

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1、§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是_______或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D2．函数的最值(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)

2、　)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)(4)所有的单调函数都有最值．()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√1．函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是()A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增函数D．先递增再递减函数【解析】作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知，在[2，4]上先减后增．【答案】C3．若函数y＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a的

3、取值范围是()A．(－∞，－2]B．[－2，＋∞)C．[2，＋∞)D．(－∞，2]【解析】函数y＝x2－2ax＋1图象的对称轴为x＝a，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，需a≥2.【答案】C4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．【解析】由图可知函数的单调递增区间为[－1，1]和[5，7]．【答案】[－1，1]，[5，7](2)y＝－x2＋2

4、x

5、＋3的单调递增区间为________．二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2

6、x

7、＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数．【答案】(1)D(2)(－∞，－1]，[0

8、，1]【思维升华】确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．【解析】设t＝x2－2x－3，则t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．【答案】B(2)已知函数f(x)＝lnx＋mx2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间．题型二　函数的最

9、值【例3】(1)若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为()A．－3B．－2C．－1D．1【解析】(1)函数f(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1的图象如图所示．由图象知在[3，＋∞)上f(x)min＝f(3)＝32－2×3＋m＝1，得m＝－2.【思维升华】求函数最值(值域)的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后再用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最

10、后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【思维升华】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函

11、数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．