实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案.doc

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1、第一章集合早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。§1集合的表示集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法：在一定范

2、围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。例14，7，8，3四个自然数构成的集合。例2全体自然数例30和1之间的实数全体例4上的所有实函数全体例5A,B,C三个字母构成的集合例6平面上的向量全体全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。1.集合的表示一个具体集合A可以通过例举其元素来定义，可记也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p来定义，并记为

3、A={x：x满足条件p}如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为设A是一个集合，x是A的元素，我们称x属于A，记作，x不是A的元素，记作。为方便表达起见，表示不含任何元素的空集，例如{：>1}=习惯上，N表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.设是定义在E上的函数，记={：∈E}，称之为f的值域。若D是R中的集合，则={:∈E,},称之为D的原像，在不至混淆时，{：∈E，满足条件p}可简写成{:满足条件}.2.集合的包含关系若集合A和B满足关系：对任意∈A,可以得到x∈B，则成A是B的子集，记为AB或BA，若AB但A并不与B相同，则称A是

4、B的真子集.例7.若在R上定义，且在[a,b]上有上界M，即任意对∈[a,b]有M.用集合语言表示为：[a,b]{：M}.用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例.例8.若在R上连续，任意取定∈R,对任意>0,存在>0.使得对任意有<,即.3.集合相等若集合A和B满足关系：AB且BA,则称A和B相等，记为A=B.例9设在R上定义，且在R上有上界M，则R={：M}={：M+1}例10若在[a,b]上连续，则由连续函数的性质，，其中，.§2集合的运算从给定的一些集合出发，我们可以通过所谓集合的运算做出一些新的集合，其中最常见的运算有并、交、减法三种，实变函数中大量使用无限并和无限

5、交的运算。1、集合的并集设A,B是任意两个集合，设C由一切或属于A或属于B的元素所组成，则我们称C为A,B的并集或和集，简称为并或和，记为它可以表示为图1.1是的示意图。并集的概念可以推广到任意多个集合的情形，设有一簇集合,其中是在固定指标集中变化的指标；则由一切的所有元素组成的集合称为这族集合的并集或和集，记为，它可以表示为：注意，按照集合的定义，重复出现在两个被并集合中的元素在做并运算时只能算一次。习惯上，当为有限集时，写成,而写成。例1设和是定义在E上的函数，则对任意例2.例3若记例4若是一族开区间，而，则存在使得（有限覆盖定理）例5若是定义在E上的函数，则2、集合的交集设A,B是任意两

6、个集合，由一切既属于A又属于B的元素组成的集合C称为A和B的交集或积集，简称为交或积，记作,它可以表示为如图1.2所示交集的概念也可以推广到任意多喝集合的情形设是任意集族，其中是在固定指标集中变化的指标；则由一切的所有元素组成的集合称为这族集合的交集或积，记为，它可以表示为：若，说明所有的没有公共的元素。习惯上，当为有限集时，写成,而写成例6、若是定义在E上的函数，则例7、若则存在唯一的使（区间套定理）。例8若是定义在E上的一列函数，则对任意，（1）（2）证明我们只证明（1），（2）的证明类似的，请读者自证。若则对任意n即，由n的任意性，；反之，若，对任意n，，因此c是的一个上界，于是即定理1

7、（交换律）证明我们只证明先设则有且有于是这证明了在证反过来的包含关系，设，则有,此即，因此于是。综合起来，便是等式成立。这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立3、集合的差集和余集若A和B是集合，称为A和B是差集，AB也可以记为A-B，如图1.3是A-B的示意图：当我们讨论集合都是某个大集合S的子集时，我们称为A的余集，并记为在欧式空间中，写成当全集确定时，显然因此研究差集运算可以通过