零点界值法断函数单调性（原创）.doc

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1、零点界值法判断函数单调性（原创）在用函数单调性的定义判断单调性时，常常会出现形如和等形式的因式，在所给函数的定义域上，很难判断这些因式的符号，使得后续工作很难进行。笔者在教学中发现，此时，可以将和看作相等，求出相应因式的零点值，以这些零点值为界值将定义域分成若干区间，在各自区间上很容易确定这些因式的符号，从而可以判定函数在每个区间上的单调性。下面通过举例说明此法。例1用定义判定二次函数的单调性。解设,,且，则由零点界值法知，将和看作，的零点，即为方程的解为，以为界值将区间分为和.当时，，∴即.故在上是

2、减函数。当时，，∴即.故在上是增函数。∴上是减函数，在上是增函数。说明以上方法所得二次函数的单调性和二次函数在对称轴两侧的单调性相同。例2讨论函数的单调性。解显然是奇函数，下面先讨论函数在上的单调性。设则由零点界值法知，将和看作，的零点，即为方程的解为，以为界值将区间分为和.∵当时，，，，∴即.故在上是减函数。当时，，，，∴即.故在上是增函数。易知是奇函数，∴上分别是增函数；上分别是减函数。说明函数是高中数学的重要函数模型，利用其单调性可以求此类函数的最值问题。例3判断函数的单调性。解易知定义域是.设

3、,,且，则.由零点界值法知，将和看作，的零点，即为方程的解为，以为界值将区间分为、和.当时，，∴即.故在上是减函数。当时，，∴即.故在上是增函数。当时，，∴即.故在上是减函数。∴上是减函数，在上是增函数，在上是减函数。说明此题也可用导数法求解。点评在用定义判定函数单调性，变形后难以判断有些因式的符号时，零点界值法可以化难为易，达到有效解决问题的目的。可见，零点界值法是判断这类函数单调性行之有效的方法。