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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯高中数学不等式的恒成立问题一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。基本结论总结例1对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。例2：已知不等式(a2)x22(a2)x40对于xＲ恒成立，求参数a的取值范围．解：要使(a2)x22(a2)x40对于xＲ恒成立，则只须满足：a20a20（2）2(a2)0（1）2)216(a2)或4(a040解（1）得a2，解（2）a＝２2a2∴参数a的取
2、值范围是－２＜a２．练习1.已知函数ylg[x2(a1)xa2]的定义域为Ra的取值范围。，求实数2.若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。3.若不等式的解集是R，求m的范围。4.x取一切实数时，使kx7恒有意义，求实数k的取值范围．24kxkx31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯例3．设f(x)x22mx2，当x[1,)时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根
3、的分布解决问题。y解：F(x)x22mx2m，则当x[1,)时，F(x)0恒成立x当4(m1)(m2)0即2m1时，F(x)0显然成立；当0时，如图，F(x)0恒成立的充要条件为：-1Ox0F(1)0解得3m2。综上可得实数m的取值范围为[3,1)。2m12例4。已知f(x)x2ax1，求使不等式f(x)0对任意x[1,2]恒成立的a的取值范围。解法1：数形结合结合函数f(x)的草图可知f(x)0,x[1,2]时恒成立f(1)2a0得a5。所以a的取值范围是(5,)。f(2)52a022解法2：转化为最值研究f(x)(xa)21a2241.若a3即a3时,f(x)在[1,2]上的最大值f(
4、x)maxf(2)52a0,得a5,所以5a3。22222.若a3即a3时,f(x)在[1,2]上的最大值f(x)maxf(1)2a0，得a2，所以a3。22综上：a的取值范围是(5,)。2注：1.此处是对参a进行分类讨论，每一类中求得的a的范围均合题意，故对每一类中所求得的a的范围求并集。2.f(x)m,xI恒成立f(x)maxm(m为常数)；f(x)m,xI恒成立f(x)minm(m为常数)解法3：分离参数x2ax10,x[1,2]ax1,x[1,2]。设g(x)x1，xx注：1.运用此法最终仍归结为求函数g(x)的最值，但由于将参数a与变量x分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题
5、相对简化。2.本题若将“x[1,2]”改为“x(1,2)”可类似上述三种方法完成。仿解法1：f(x)0,x(1,2)f(1)0得a5即a的范围是:[5,)f(2)022读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处a5也合题。22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯例5.已知：f(x)x2ax1求使f(x)0对任意x[1,1]恒成立的a的取值范围。解法1：数形结合结合f(x)的草图可得：a240a240a24或a1或a得：2a2即a的取值范围是:(2,2)。0122f(1)0f(1)0解法2：转化为最值研究f(x)(xa
6、)2121.1a1即2a24a22a2时,f(x)min10得2a2，所以2a2。42.若a1a2,f(x)minf(1)2a0a2,与a2矛盾。2即时得3.若a1a2,则f(x)minf(1)2a0a2,与a2矛盾。综上：a的取值范围是(2,2)。2即时得解法3：分离参数1.x0时，不等式显然成立，即此时a可为任意实数；2.x[1,0)时，x2ax10ax1。因为g(x)x1在[1,0)上单调递减，所以xxag(x)maxg(1)2；3.x(0,1]时，x2ax10ax1。因为g(x)x1在（0，）上单调递减，所以xx1ag(x)ming(1)2。综上：a的范围是：(2,2)。注：本题
7、中由于x的取值可正可负，不便对参数a直接分离，故采取了先对x分类，再分离参数a，最后对各类中求得a的范围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a的范围求并集是不同的，应引起注意！例6.已知：f(x)x2ax1，求使f(x)0对任意a[3,3]恒成立的x的取值范围。解：f(x)0x2ax10习惯上视x为主元而a为辅元，但本题中是a在[3,3]上任意变化时不等式恒成立，即故可将a视为主元。变更主元法：设g(a)xax21，则
