求导数的方法法则与公式ppt课件.ppt

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1、§3.2求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则三、隐函数的求导法则四、反函数的求导法则五、由参数方程所确定的函数的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则如果函数u(x)和v(x)是x的可导函数,则它们的和、差、积、商(分母不为零)也是x的可导函数,并且(1)[uv]=uv(2)(uv)=uv+uv(3)特别,推论:(2)[Cf(x)]=Cf(x)(1)(3)例1.求y=x32x2+sinx的导数解:y=(x32x2+sinx)=(x3)(2x2)+(sinx)=3x24x+cosx例2

2、.求y=sin2xlnx的导数解:y=2sinxcosxlnxy=2(sinx)cosxlnx+2sinx(cosx)lnx+2sinxcosx(lnx)=2cosxcosxlnx+2sinx(sinx)lnx例3.求y=tanx的导数解:=sec2x即(tanx)=sec2x同理可得:(cotx)=csc2x例4.求y=secx的导数解:=secxtanx同理可得:(cscx)=cscxcotx即(secx)=secxtanx二、复合函数的求导法则如果函数u=(x)在点x处可导,y=f(u)在对应

3、点u=(x)处也可导,则有复合函数y=f[(x)]在点x可导,其导数为:即复合函数的导数,等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数公式也可写成公式还可推广到多次复合的情形.如y=f(u)，u=(v),v=g(x),则关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.例5.求y=lnsinx的导数解:y=lnu,u=sinx=cotx求复合函数的导数的关键:对复合函数进行正确的分解三、用复合函数求导法则求隐函数的导数由方程F(x,y)=0确定了y是x的函数,这样的函数称为隐函数.隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.下面介绍不

4、必显化，就能直接求出隐函数导数的方法.隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)例6.求xy+lny=1所确定的隐函数的导数y解:方程两边对x求导得:例7.设x4xy+y4=1,求y在点(0,1)处的值解:方程两边对x求导得:4x3yxy+4y3y=0(1)方程(1)两边再对x求导得:12x22yxy+12y2(y)2+4y3y=0(2)(1),(2)分别代入x=0,y=1得例8.求曲线3y2=x2(x+1)在点(2,2)处的切线方程解:方程两边对x求导得:6yy=3x2+2x因而所求切线方程为:即4x3y2

5、=0例9.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即四.任意指数的幂函数y=x(R)的导数对数求导法:先对等式两边取对数,然后根据隐函数的求导法求出导数对y=x两边取对数,得:lny=lnx两端对x求导,得:即得(x)=x1五、指数函数y=ax(a>0,且a1)的导数两边取对数,得:lny=xlna两端对x求导,得:即得(ax)=axlnay=ylna特别,(ex)=ex例11.设解令例12.解例13.求函数的导数解:例14.解:例15.求(x>2)的导数解:六、反函数的求导法则设函数x=(y)在

6、某区间Iy内单调可导,且(y)0,则它的反函数y=f(x)在对应区间Ix也可导,且有或即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数∵x=(y)1=(y)y例16.求函数y=arcsinx的导数解:其反函数x=siny在(/2,/2)内单调可导且(siny)=cosy>0在(1,1)内有:故同理有:例17.证明证：y=arctanx是x=tany在上的反函数x=tany在内单调，可导，且例18.求函数的导数解:确定y与x间的函数关系,称此为由参数方程所确定的函数七、由参数方程所确定的函数的导数若参数方程例如,消去参数t设函数x=

7、(t)具有单调连续的反函数t=1(x)问题:消参困难或无法消参如何求导?设函数x=(t),y=f(t)都可导,且(t)0,由复合函数和反函数的求导法则,有:即,则y=f[1(x)]例19.求摆线在处的切线方程解:=1当时,所求切线方程为:即例20.求下列函数的n阶导数:(1)y=xn(2)y=ex(3)y=sinx解:(1)y=nxn1y=n(n1)xn2...(xn)(n)=n!(2)y=exy=ex...(ex)(n)=ex(3)y=cosxy=sinxy=cosxy(4)=sinx...同理解：