双曲线的切线.doc

《双曲线的切线.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、双曲线的切线不妨只考察P在原点、P在坐标轴正半轴上、P在第一象限内的情形．x=a；C3与C2的交点为B(a，b)；C1的内部(含焦点的部分)为区域Ⅰ；C1与C2之间的部分，在C3左侧为区域Ⅱ，在C3右侧部分为区域Ⅲ；C2与y轴正半轴所夹的部分，在C3左侧为区域Ⅳ，在C3右侧为区域Ⅴ．1若P在原点∴直线x=0不是C1的切线．设过P(0，0)的直线l的方程为y=kx，代入(1)消去y得(b2－a2k2)x2＝a2b2，实根，∴l与C1有两个交点．故过P不存在C1的切线．2若过点P存在无斜率的切线故点P在C3上时，C3为C1的一条切线，切点为A．3若过点P存在有斜

2、率的切线设切线斜率为k，则切线方程为y－y0=k(x－x0)(2)将(2)代入(1)消去y可得(b2－a2k2)x2－2a2k(y0－kx0)x－a2[(y0－kx0)2＋b2]=0(3)方程(3)的判别式3.1若点P在C3上(异于点A)∵x0=a，∴一次方程f(k)=0的解为C1的切线．①当P在线段AB上时，∵b＞y0，∴Qx＞0，Qy＞0，故Q在C1的右支上半支．②当P在线段AB的延长线上时，∵b＜y0，∴Qx＜0，Qy＜0，故Q在C1的左支下半支．3.2若点P不在C3上此时x0≠a．二次方程f(k)=0有实根的充要条件是其判别式3.2.1若点P在区域Ⅰ

3、内∴δ＜0．方程f(k)=0无实根，故过P不存在切线．3.2.2若点P在曲线C1上(异于点A)注意到(5)式，切线方程可化为切点即点P．3.2.3若点P在曲线C2上(异于点B)为过点P且斜率为k1的直线即C2，不是C1的切线．故C1仅有一条切线．将(7)代入(2)并注意到(6)，可得切线方程为∵x0＞0，∴Qx＞0，故Q在C1的右支上．①若P在线段OB上，∵0＜y0＜b，∴Qy＜0，故Q在C1右支下半支．②若P在线段OB的延长线上，∵y0＞b，∴Qy＞0，故Q在C1右支上半支．3.2.4若点P在区域Ⅱ内∴δ＞0，方程f(k)=0有两相异实根，设为k1、k2，

4、且k1＜k2，则设相应于ki的切点为Qi(xi，yi)，i=1，2将(10)代入(2)得由(10)、(11)和(9)可推得∵0＜x0＜a，0＜y0＜b，由(8)和(12)知，x1x2＞0，y1y2＜0，∴Q1、Q2在C1的同一支，且在x轴异侧．由(9)知，k1k2＜0，故Q1在C1右支下半支，Q2在C1右支上半支． 3.2.5若点P在区域Ⅲ内仿3.2.4的讨论可知，x1x2＞0，y1y2＞0，∴Q1、Q2位于C1同一支且在x轴同侧．3.2.6若点P在区域Ⅳ内∴δ＞0，f(k)=0有两相异实根．∴Q1在C1的右支下半支，Q2在C1的左支下半支．3.2.7若点P

5、在区域Ⅴ内∴Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支．综上所述：当P在原点或P在区域Ⅰ时，不存在切线；当P在C1或C2(不含原点)上时，仅一条切线；当P在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ或在C3(不含A、B)上时，有两条切线．∵PN为切线，∴此关于λ的二次方程有两重根，故此即两条切线的方程．若P点位置非上述各情形，不难根据对称性，类似地给出相应的结论．