如图(一)-P是∠AOB平分线上一点-试过点P画一条直线-;.doc

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1、（1）如图（一），P是∠AOB平分线上一点，试过点P画一条直线，交角的两边于点C、D，使△OCD是等腰三角形，且CD是底边；（2）若点P不在角平分线上，如图（二），如何过点P画直线与角的两边相交组成等腰三角形？（3）问题（2）中能画出几个满足条件的等腰三角形？解：（1）如图，直线CD为过点P的一条垂线且垂足为P，则△OCD是等腰三角形．∵OP为∠AOB的角平分线∴∠AOP=∠BOP∵∠CPO=∠DPO=90°，OP=OP∴△COP≌△DOP（ASA）∴OC=OD∴△OCD是等腰三角形．（2）如图，过点O作∠AOB的角平分线OD，过点P作PD⊥OD于点D，延长交OA，OB于点M

2、，N，则△OMN为等腰三角形．∵OD为∠AOB的角平分线∴∠AOD=∠BOD∵∠MPO=∠NPO=90°，OD=OD∴△MOD≌△NOD（ASA）∴OM=ON∴△OMN是等腰三角形．（3）应该可画3个．①过P作∠AOB中平分线的垂线，交OA，OB于M，N，则△OMN是等腰三角形．②过P作OA垂线，交OA，OB于E，F，在EA上作EG=OE，连FG，过P作FG平行线，交OA，OB于M，N，则△OMN是等腰三角形．③过P作OB垂线，交OA，OB于E，F，在FB上作FG=OF，连EG，过P作EG平行线，交OA，OB于M，N，则△OMN是等腰三角形．所以有三个这样的等腰三角形．如图，

3、已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．首先在AB上截取AF=AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB=∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC=BF，继而证得AD+BC=AB．解答：证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∵AD=AF∠DAE=∠FAEAE=AE∴△DAE≌△FAE（SAS），∴∠AFE=∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=

4、∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∵∠EFB=∠C∠EBF=∠EBCBE=BE∴△BEF≌△BEC（AAS），∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+1/2∠A（2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°-1/2∠A；（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定

5、理．分析：（1）根据三角形角平分线的性质可得，∠BOC+∠OCB=90°-1/2∠A，根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°+1/2∠A；（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD=1/2（∠A+∠ABC）∠DBC=1/2（∠A+∠ACB）根据三角形内角和定理可得∠BDC=90°-1/2∠A；（3）根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-1/2（∠A+2∠1）两式联立可得2∠D=∠A．解答：证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x

6、°∴∠OBC+∠OCB=1/2（180°-∠A）=1/2×（180°-x°）=90°-1/2∠A故∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-1/2∠A）=90°+1/2∠A；（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°∴∠BCD=1/2（∠A+∠ABC）、∠DBC=1/2（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，=180°-1/2[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-1/2（∠A+180°）=90°-1/2∠A；（3）如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△

7、ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=1/2（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A----①在△CDE中∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-1/2（∠A+2∠1），2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，把①代入②得2∠D=∠A．