北京邮电大学《高等数学教学课件》41特殊类型.ppt

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1、几种特殊类型函数的不定积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；1.假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例做法：(1)长除；(2)恒等变形。有理函数的代数性质2.真分式可化为简单分式的和，所谓简单分式(或称部分分式)是指下面四种形式的分式：n=2,3,4,……其中A,B,C,a,p,q为常数，无实根，所以它不能在实数域中分解为两个因式的乘积。真分式化为简单分式之和的方法是：（1）分母中若有因式，则分解后为有理真分式化为简单分式之和：特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则

2、分解后为特殊地：分解后为总之，如果多项式Q(x)在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积，如那么真分式可以分解成如下部分分式之和：+……+++……+其中都是待定常数.称为真分式化为简单分式之和的待定系数法真分式化为简单分式之和的待定系数法例1代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2真分式化为简单分式之和的待定系数法例3整理得例4求积分解例5求积分解简单分式的积分：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令令这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.例6求积分例6求积分解令三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限

3、次四则运算构成的函数称之．一般记为二、三角函数有理式的积分令（万能置换公式）例7求积分解由万能置换公式例8求积分解（一）解（二）修改万能置换公式,令解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例9求积分解讨论类型解决方法作代换去掉根号.例10求积分解令三、简单无理函数的积分例11求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例10解例11解例12求积分解先对分母进行有理化原式简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置

4、换公式）四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.