北京邮电大学《高等数学教学课件》第0节

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1、第一章函数（右页）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学则以变量为研究对象，更确切的讲高等数学是以变量与变量之间的一种依赖关系一函数关系为研究对象的一门学科。因此，函数是髙等数学屮最重要的概念Z—。极限方法则是研究变量的一种基本方法。本章将介绍函数，极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。作为本课程的基础知识，先介绍实数的一些基本性质，集合的基本概念及常见的不等式。基础知识一、实数的基本性质1.实数及其几何表示实数在中学代数里我们已经知道实数包括有理数和无理数两种，所有整数、分数总称为有理数，即：凡能表示成£（其中

2、p、q为整数，qHO,p、q无公因数）形式的数为q有理数，不能表示成上述形式的数为无理数，如、伍，兀，…。）几何表示实数和直线上的点存在一一对应关系，称这条直线为实数轴，简称数轴。以后常用数轴上的点表示实数，于是也把数称为点，例如点2,V2……等，实数的这个特性说明了实数之间无空隙称为实数的连续性。有理数和无理数没有这个性质。2.性质性质1.有序性（1）对任两实数a,b,贝9ab三者必居英一且只居英一。（2）若aWb,a$b则a=b；（3）a,b,c为实数，若avb,b

3、vb,或者总存在白然数n使avn。这个性质称为无上界。同样实数无下界。3.稠密性（1）实数的稠密性：任两实数a,b,若avb,则存在实数c使avcvb,从而在任两不等实数之间存在无穷多个实数。推论1任两实数avb,总存在实数£>0使a

4、a-b

5、v£成立，则a二b。证明：设aHb,如果avb,由推论1知存在£o使a+£o

6、=b-a>£°。这与假设矛盾，所以a2b。类似可证aWb,由实数的有序性知a=b。（2）有理数在实数屮的稠密性（同理无理数在实数屮亦稠密）：在任两不

7、等实数之间存在无穷多个有理数。由有理数的稠密性知：推论1,2屮的£可用r代替，更进一步可用丄（nn为自然数)代替结论仍成立。二、集合lo集合的概念集合概念是数学中的基础概念，这个概念对我们来说并不陌生，一般地,由具有某种特性的事物组成的整体叫集合，其中的成员称为这个集合的元素。例如一个书柜中的书构成一个集合，一个教室里的学生构成一个集合，全体实数构成一个集合等等。集合通常用大写字母A,B,C,X,Y……表示，集合中的元素用小写字母a,b,c,x,y表示，全体自然数的集合记作N,全体整数的集合记作乙全体有理数的集合记作Q,全体实数的集

8、合记作R。，不含任何元素的集合叫空集用4)表示。若a是集合M的元素记作aEM(读作a属于M)；a不是集合M的元素记作M(读作a不属于M).2O集合的两种表示法(1)列举法在花括号内列举出集合的全体元素，每个元素之间用逗号隔开称为列举法。例如由有限个元素aba2,-,an组合成的集合A,可记作A={ai,a2,—,an};全体自然数的集合记为N={1,2,3,…,n,…}等。(2)描述法设M是具有某种特征的元素x的全体所组成的集合，就记作M={xIx所具有的特征}称为描述法.由无穷多个元素组成的集合，经常用这种表示法，例如，xOy平面

9、上的方程x2+y2=l的点(x,y)的全体组成的集合M,可记作M={(x,y)Ix,y为实数,x2+y2=l}.这个集合M实际上就是xOy平面上以原点0为中心，半径等于1的圆周上的点的全体组成的集合。又如{X

10、xER,x2+1=0}是空集，因为适合x2+l=0的数是不存在的。高等数学中常用的数集是区间和邻域。{XIa

11、和b也称为闭区间[a,b]的端点，这里aW[a,b],bW[a,b].类似地可说明：[a,b)={xIa=x

12、a

13、限区I'可在数轴上如图l・l(c),(d)所示.全体实数集合R也可记作(・8,+8),它也是无限区间.以后在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，我们就简称它为“区间”，且常用I表示.邻域也是一个经常用到的