勾股定理知识归纳.doc

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1、第十八章、勾股定理第一节、知识梳理勾股定理●学习目标　　1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.　　2.能运用勾股定理解决实际问题．　●重点难点　　重点：了解勾股定理，并能正确合理的运用.　　难点：勾股定理的证明.　●知识概要　　1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a２＋b２＝c２，即直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．　　2.勾股定理的应用.　　勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数

2、形结合的一个典范.　　3.勾股定理的证法.　●知识链接　　1.勾股定理的历史背景.我国是最早了解勾股定理的国家之一，商朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”，被记载于《周髀算经》中．在欧洲，通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.　　2.与直角三角形有关的问题.　　（1）直角三角形的定义.　　（2）直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等.　●中考视点　　勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的

3、关系，中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运用：　　（１）运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边．　　（２）利用勾股定理证明一些具有平方的关系式．　　（３）运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点．勾股定理的逆定理●学习目标　　１.掌握勾股定理的逆定理，并会用它判定一个三角形是不是直角三角形.　　２.理解并初步掌握利用三角形全等及代数计算来证明直角三角形的方法.●重点难点　　重点：勾股定理的逆定理及其应用.　　难点：勾股定理的逆定理的证明及应用.●知识概要　　勾股定理是将直角三角形的形的

4、特征转化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数定形．　　1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．　　２.如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫作它的逆命题．　　３.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．　　４.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．●知识链接　　（1）勾股定理与勾股定理的逆

5、定理是两个互逆的命题.　　（2）勾股数：满足条件a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数组有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；20，21，29；9，40，　　41；…这些勾股数组的整数倍数仍然是勾股数组.●中考考点　　勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状．第二节、教材解读一、勾股定理的内容　勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是a、b，斜边是c，那么a2+b2＝c2.　因此

6、，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.二、正确判定一个三角形是否是直角三角形　如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.　这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.　要判断一个三角形是不是直角三角形，一是确定最大边，

7、即斜边c；二是验证c2与a2+b2是否相等.若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用　勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段等等.以求作长为的线段为例，利用勾股定理作出长为…的线段，如下左图所示．　用同样的方法我们可以在数轴上画出表示…的点，如下右图所示.　四、勾股定理逆定理的推导勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么

8、a２＋b２＝c２，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为a、b、c，边长之间满足关系a２＋b２＝c２，那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢？　　下面是３组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形，　　（１）a＝６，b＝８，c＝１０；　　（２）a＝５，b＝１２，c＝１３；　　（３）a＝１５，b＝２０，c＝２５．　　　　　　　我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长都