大学数学(高数微积分)第七章线性变换第三节课件(课堂讲义).ppt

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1、主要内容线性变换、基与基的像第三节线性变换的矩阵线性变换的矩阵向量像的计算公式线性变换在不同基下矩阵的关系相似矩阵一、线性变换、基与基的像设V是数域P上n维线性空间，1,2,…,n是V的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩阵的关系.首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系.空间V中任一向量可以被基1,2,…,n线性表出，即有=x11+x22+…+xnn(1)=x11+x22+…+xnn(1)其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像A与基的

2、像A1,A2,…,An之间也必然有相同的关系：A=A(x11+x22+…+xnn)=x1A(1)+x2A(2)+…+xnA(n)(2)上式表明，如果我们知道了基1,2,…,n的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说1.设1,2,…,n是线性空间V的一组基.如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即Ai=Bi,i=1,2,…,n,那么A=B.结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面我们进一步指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是说2.设1,

3、2,…,n是线性空间V的一组基.对于任意一组向量1,2,…,n一定有一个线性变换A使Ai=i,i=1,2,…,n.(3)综合以上两点，得定理1设1,2,…,n是线性空间V的一组基，1,2,…,n是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换A使Ai=i,i=1,2,…,n.有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系.二、线性变换的矩阵1.定义定义7设1,2,…,n是数域P上n维线性空间V的一组基，A是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：用矩阵来表示就是A(1,2,…,

4、n)=(A1,A2,…,An)=(1,2,…,n)A，其中矩阵A称为A在基1,2,…,n下的矩阵.(5)例1设1,2,…,m是n(n>m)维线性空间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基1,2,…,n.指定线性变换A如下：Ai=i，当i=1,2,…,m,Ai=0，当i=m+1,…,n.如此确定的线性变换A称为对子空间W的一个投影.不难证明投影A在基1,2,…,n下的矩阵是m行m列这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的nn矩阵的

5、一个映射.前面的说明这个映射是单射，说明这个映射是满射.换句话说，我们在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有2.性质定理2设1,2,…,n是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按对应一个nn矩阵.这个对应具有以下的性质：1)线性变换的和对应于矩阵的和；2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证明设A，B是两个线性变换，它们在基1,2,…,n下的矩阵分别是A，B，即A

6、(1,2,…,n)=(1,2,…,n)A，B(1,2,…,n)=(1,2,…,n)B.1)由(A+B)(1,2,…,n)=A(1,2,…,n)+B(1,2,…,n)=(1,2,…,n)A+(1,2,…,n)B=(1,2,…,n)(A+B).可知，在1,2,…,n基下，线性变换A+B的矩阵是A+B.2)相仿地，(AB)(1,2,…,n)=A(B(1,2,…,n))=(A(1,2,…,n)B)=(A(1,2,…,n))B=(1,2,

7、…,n)AB.因此，在1,2,…,n基下，线性变换AB的矩是AB.3)因为(k1,k2,…,kn)=(1,2,…,n)kE.所以数乘变换K在任何一组基下都对应于数量矩阵kE.由此可知，数量乘积kA对应于矩阵的数量乘积kA.4)单位变换E对应于单位矩阵，因之等式AB=BA=E与等式AB=BA=E相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且逆变换与逆矩阵相应.证毕定理2说明数域P上n维线性空间V的全部线性变换组成的集合L(V)对于线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间，与数域P上n级方阵构成的线性空

8、间Pnn同构.利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像.三、向量像的计算公式定理3设线性变换A在基1,2,…,n下的矩阵是A，(x1,x2,…,xn)，标(y1,y2,…,yn)可以按公式计算.向量在基1,2,…,n下的坐标是则A在基1,2,…,n下的坐证明由假设于是另一方面，由假设由于1