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《大学数学(高数微积分)第二章行列式第六节(课堂讲义)ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、问题的提出节 行列式按一行（列）展开余子式和代数余子式行列式按行(列)展开定理3级行列式的几何意义行列式计算举例一、问题的提出在第四节中，我们把n级行列式的定义中的n!项分成n组，每组提取公因式后得到如下结果：i=1,2,…,n.那么这些Aij,i,j=1,2,…,n,究竟是什么呢？这就是本节我们将要讨论的问题.为了找到解决问题的线索，还是从二级和三级行列式的定义入手.二级和三级行列式的定义分别如下：把三级行列式定义中的6项，按含有第一行的3个元素的规则进行分组，每组提取公因式，得于是就有也就是说，A11，A12，A13
2、都是带符号的二级行列式，那么这些二级行列式的构成有规律吗？符号又是怎么确定的呢？下面作进一步的研究.A11，A12，A13的元素在三级行列式中的位置分别如下：它们的特点：划掉了a11所在的行和列特点：划掉了a12所在的行和列特点：划掉了a13所在的行和列A11，A12，A13的符号由它们所对应的元素a11,a12,a13在三级行列式中的位置确定，Aij的符号为(-1)i+j.三级行列式中的Aij的构成规则可推广到n级n级行列式中Aij是一些带有正负号的n-1级行列式.为了从理论上证明这一结论，我们先引进余子式和代数余子式
3、的概念.行列式，即二、余子式和代数余子式定义7在n级行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n-1级行列式称为元素aij的余子式,记作Mij.按这个定义，对于三级行列式，有下面就来证明Aij=(-1)i+jMij.我们先由行列式的定义证明n级与n-1级行列式的下面这个关系，证明左边事实上，左边按行列式定义展开得在上述展开式中，只有jn=n的项才可能不为零，而ann=1,所以上式可变形为显然j1j2…jn-1是1,2,…,n-1的排列，且所以左边＝右边.这就证明了(1)
4、式.为了证明Aij=(-1)i+jMij，在i=1,2,…,n.中令得的结论，把Aij的行作如下调换：把Aij的第i行依次与第i+1行、第i+2行、…、第n行对调，这样aij=1就调到原来anj位置上，调换的次数为n-i，于是就有为了利用再把Aij的第j列依次与第j+1列、第j+2列、…、第n列对调，这样就使aij=1调到第n行第n列的位置，调换的次数为n-j，所以证毕定义8称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式.例1利用下列模型求任意一个四级行列式的余子式和代数余子式.三、行列式按行(列)展开定理定理4
5、设Aij表示元素aij的代数余子式，则下列公式成立：当k=i,当ki.当l=j,当lj.用连加号简写为当k=i,当ki;当l=j,当lj.证明当k=i,当ki.由于行列式中行与列的地位是对称的,当k=i时已证，只需证ki的情形.设行列式的第i行的元素等于第k行的元素，即aij=akj,j=1,2,…,n,ki.把行列式第i行展开，得故只需证由于aij=akj,j=1,2,…,n,ki，把上式的aij换成akj，得于是就有第i行第k行上式右端的行列式中含有两个相同的行，故行列式的值等于零.证毕四、3级行列式
6、的几何意义设3级行列式的行是向量1、2、3在直角坐标系下的坐标,即那么于是由此可得三个向量1、2、3共面的充要条件是：的坐标构成的3级行列式d=0；若d0，则
7、d
8、表示以这三条向量为邻边的平行六面体的体积.例如它们设因为所以它们共面.图2–1如图2–1所示.设其体积V为以1、2、3为邻边的平行六面体如图2–2所示.图2–2五、行列式计算举例例2任意输入一个行列式，利用下列展开式模型计算之.例3行列式称为n级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明证明对n作归纳法.当n=2时，结论成立.设对于n
9、-1级的范德蒙德行列式结论成立，现在来看n级的情形.在n级范德蒙德行列式中，第n行减去第n-1行的a1倍，第n-1行减去第n-2行的a1倍.也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的a1倍，有按第1列展开，并把列的公因子(ai-a1)提出，得上式右端行列式是n-1级范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有(ai-aj)因子的乘积，其中2j10、.当k=m时，按第一行展开，有现在再来证明k=m这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一步是根据按一行展开的公式.根据归纳法原理，结论普遍成立.证毕本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂
