第九讲“牛吃草”问题

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1、第九讲“牛吃草”问题有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：（1）某个时间期限前草场上原有的草量；（2）这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。下面就用开头的题目为例进行分析。（见下图）从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。为了求出一周新生长的草量，就

2、要进行转化。27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）。23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）。这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207－162）÷（9－6）=15头牛一周的吃草量。需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有的草量。所以牧场上原有草量为26×6－15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9－15×9=72）。牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分

3、成两部分。一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草。但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）。故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21－15=6头牛去吃原有的草。所以牧场上的草够吃72÷6=12周，也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周。例2：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？分析与解答：这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加。所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的

4、水的增长量是不变的。船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量。对于这个问题我们换一个角度进行分析。如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”，则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10=30。船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40－30）÷（8－3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量－3小时漏进水量，3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量。所以船内原有水量

5、为30－2×3=24。如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2=12人。但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需要12＋2=14人。从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量。有了这两个量，问题就容易解决了。例3：12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场每天生长草量相等）？分析：解量的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天

6、，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原来的牧草加上28天新生产的草可供33.6头牛吃一天（12×28÷10=33.6）。21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原有的草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天（63×21÷30=44.1）。1公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即：(44.1－33.6)÷(63－28)=0.3（头）1公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即：33.6－0.3×28=25.2（头）72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天，即：72×25.2÷126=14

7、.4（头）72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天，即：72×0.3=21.6（头）所以72公亩牧场上的牧草可供36（=14.4＋21.6）头牛吃126天，问题得解。解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？（63×21÷30－12×28÷10）÷（63－28）=0.3（头）一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？12×28÷10－0.3×28=25.2（头）72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？72×25.2÷126＋72×0.3=36(头)例4：一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只头吃12天。如果一头牛一天的吃草

8、量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起