奥数：第九讲牛吃草问题

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1、第九讲“牛吃草”问题　　有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。　　解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。　　下面就用开头的题目为例进行分析.（见下图）　　从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一

2、周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于27×6＝162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）÷（9-6）=15头牛一周的吃草量。　　需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。　　所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9-15×9=72）。　　牧场上的草21头牛几周才能

3、吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72÷6=12（周），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周.问题得解。例2一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？分析与解答这类问题，都有它共同的特点，即总

4、水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。　　如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10＝30.　　船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。　　每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。　　船内原有的水量等于10人3小时淘

5、出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（2×3）=24。　　如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2＝12（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。　　从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了。例312头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公

6、亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？分析解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。　　12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加上28天新生长的草可供33.6头牛吃一天（12×28÷10＝33.6）。　　21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天(63×21÷30＝44.l）。　　一公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即　　（44.l-33.6）÷（63-28）=0.3（头）。　　一公亩原有的

7、牧草可供25.2头牛吃一天，即　　33.6-0.3×28=25.2（头）。　　72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天.即　　72×25.2÷126=14.4（头）。　　72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天.即　　72×0.3=21.6（头）。　　所以72公亩牧场上的牧草共可以供36（=14.4＋21.6）头牛吃126天.问题得解。　　解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？　　（63×2i÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（头）。　　一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？　　12×28÷10-0.3×28=25.2（头

8、）。　　72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？　　72×25.2÷126+72×0.3=36（头）。　　答：72公亩的牧草