马尔萨斯模型.doc

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1、马尔萨斯模型人类社会进入21世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也空前的规模增长。我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有一个中国人。在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快。年1908193319531964198219902000人口（亿）3.04076.07.210.311.312.95有效控制我国人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的想需要，而且对全人类社会的美好理想来说，也是义不容辞的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

2、年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.9769210.6.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204226.5251.4281.4表1美国人口统计数据1）马尔萨斯模型最简单的人口模型是人所共知的：记今年人口为，k年后人口为，年增长率为，则（1）显然，这个公式的基本条件是年利率r保持不变。模型建立记时刻t的人口为，当考

3、察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个较大的整数。为了利用积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻（t=0）的人口为。假设人口增长率为常数r，即单位时间内的增量等于乘以r。考虑到t到时间内的增量，显然有令，得到满足微分方程，（2）由这个方程容易解出（3）R>0时（3）式表示人口将按指数规律时间无限增长，称为指数增长模型。参数估计（3）的参数r和可以用表1的数据估计。为了用简单的线性最小二乘法，将（3）事取对数，可得，，（4）以1790年至1900年的数据拟合（4）式，用MATLAB软件计算可得r=0.2743/10年，=4.1884。以全部

4、数据（1790年至2000年）拟合（4）式，可得r=0.2.22/10年，=6.0450。>>clear>>f=inline('a(1)*exp(a(2)*t)','a','t')>>t=0:10:110>>x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0]>>[a,Jm]=lsqcurvefit(f,[0,0],t,x)>>vpa(a,10)结果分析用上面得到的数参数r和带入（3），将计算结果与实际数据作比较，可以得出，用这个模型基本上能描述十九世纪以前美国人口的增长，但是进入二十世

5、纪以后，美国人口增长明显变慢，这个模型就不合适了。年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4计算人口x14.25.57.29.512.516.521.728.6计算人口x267.49.111.113.616.62324.9年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.9769210.6.5123.2131.7计算人口x137.649.565.185.6计算人口x230.537.345.755.968.483.7102.512

6、5.5年195019601970198019902000人口150.7179.3204226.5251.4281.4计算人口x1计算人口x2153.6188230.1281.7344.8422.1表2只是增长模型拟合美国人口数据的结果长期看来，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上在不断地变化着，排出灾难、战争等特殊时期，一般说来，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；当人口达到一定数量后，增长会慢下来，即增长率较小。录像机计数器的用途老式录像机上都有计数器，而没有计时器，一些录

7、音机也有类似情况。这种计数器用于什么呢？让我们从这样一个问题开始：一盘标明180分钟的录像带从头到尾，用时184分钟，计数器读数从0000变到6061。在某此使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段能否录下一小时的节目。如果计数器读数随着录像带的转动是均匀增加的，那么由于4450已经显著超过6061的三分之二，即录像带已经转过两小时多，所以显然不能再录一小时的节目。但是，读数并非均匀增长，而是先快后慢，这样回答上面的问题就需要知道计数器读数与录像带转过的时间之间的关系。首先，录像带有两个轮盘，开始时录像带缠满的那个轮盘不妨称为左轮盘

8、，另一个为右轮盘。计数器与右轮盘的轴相连，其读数与右轮盘转动的圈数成正比，开始时右轮盘是空的，