“根号a与根号b和的平方不小于0”变形式的应用.doc

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1、江苏省泗阳县李口中学沈正中在初中数学竞赛题中，也常会遇到求最大值、最小值的问题。而“已知两个正数的和或积为定值，求某个代数式的最大值或最小值”就是其中的一种。对于这类问题，可通过的变形式：和来解决。因，即，即，所以当a=b时，又，即，所以当a=b时，（a+b）min=。一、根据已知条件“变”出“和或积”为定值的形式　【例】已知：a＞0，b＞0，且，求a＋b的最小值。【解法一】a＋b＝（a＋b）·＝1＋9＋因，所以当＝3时，即当b＝3a时，最小值为6，故a＋b最小值为16。【解法二】由，得(a―1)(b―9)＝9，所以a＞1，b＞9，又a＋b＝(a―1)＋(b―9)＋10，因(a―1)(b―9)

2、＝9，所以当a―1＝b―9＝3时，即当a＝4，b＝12时，(a―1)＋(b―9)最小为6，所以a＋b最小值为16。可以验证：两种解法的等号成立的条件均为a＝4，b＝12。二、巧组合【例】若a＞0，b＞0，c＞0，且a(a+b+c)+bc=4，求2a+b+c的最小值。【解】由a(a+b+c)+bc=4得(a+b)(a+c)＝4，因a＞0，b＞0，c＞0，所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2，当a+b＝a+c＝2时，2a+b+c有最小值为2＝2×＝4。