微积分(下)本科课件9-1改版总.ppt

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1、第十章重积分一元函数定积分是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型，作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型，三元函数的三重积分是求与定义在某一空间区域上的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的极限。10/6/20211第一节二重积分的概念及性质一问题的提出二二重积分的定义三二重积分的性质四小结10/6/20212柱体体积=底面积×高特点：平顶.曲柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体：曲顶柱体的体积?一、问题的引入它的底是xoy面上闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线

2、为准线，母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面10/6/20213解法:类似定积分解决问题的思想:引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”10/6/20214曲顶柱体体积V求法如下：（1）分割:分别以这些小区域的边界曲线为准线，D10/6/20215D(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值,),(为高以iifhx10/6/20216(3)求近似和：（4）取极限：10/6/20217曲顶柱体的体积10/6/20218x0zyDSS:z

3、=f(x,y)元素法1任意分割区域D,化整为零2以平代曲求曲顶柱体的体积演示i10/6/20219x0zyDS:z=f(x,y)3积零为整2以平代曲元素法1任意分割区域D,化整为零求曲顶柱体的体积演示i10/6/202110x0zyDS:z=f(x,y)3积零为整4取极限令分法无限变细i2以平代曲元素法1任意分割区域D,化整为零求曲顶柱体的体积演示V=10/6/202111x0zyDS:z=f(x,y)3积零为整4取极限令分法无限变细2以平代曲元素法1任意分割区域D,化整为零求曲顶柱体的体积演示V=10/6/202112x0zyS

4、:z=f(x,y)3积零为整4取极限令分法无限变细V2以平代曲元素法1任意分割区域D,化整为零.求曲顶柱体的体积演示V=10/6/202113２．求平面薄片的质量将区域D任意分成若干个小区域，（如右图）求法步骤如下：（1）分割：且表示该区域的面积。（2）求近似：10/6/202114（3）求和：将求得的n个小薄片质量相加，便得到整个薄片质量M的近似值：（4）求极限：将区域D无限细分，和式的极限就是薄片的质量抽去上述两个问题的实际意义，归纳它们的相同点，给予定义如下：10/6/202115二、二重积分的定义10/6/202116积分区域积分和被

5、积函数积分变量被积表达式面积元素10/6/202117在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，如右图。故二重积分（在直角坐标系下）可写为D即面微积元为1、在二重积分的定义中对区域D的划分是任意的，因此，可对区域D进行特殊划分，这样面积微元可以记作，如图10/6/2021182存在性：当在闭区域D上连续时，函数在D上的二重积分必定存在。以后总假定在D上连续的，故二重积分是存在的。平面薄片的质量是面密度在薄片所占闭区域D上的二重积分：3由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在D上的二重积分10/6/2021194二重积分的几何意义：

6、（其中xoy面上方柱体的体积取正，xoy面下方柱体的体积取负）。3）如果则二重积分解释为曲顶柱体体积的代数和。2）如果则二重积分解释为曲顶柱体体积的负值。1）如果则二重积分解释为曲顶柱体的体积。10/6/20212010/6/202121三、二重积分的性质性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即：性质2函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。10/6/202122性质3(区域可加性)如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和.为D之面积性质4如果在D上（

7、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。）10/6/202123性质5若在D上，则：特别地，性质610/6/202124证明：因为由性质5所以性质7（估值定理）设在D上f(x,y)的最大值为M，最小值为m，为D的面积，即则10/6/202125性质8(中值定理)D连续，之面积,则在D上至少存在一使得：证明：由性质6得，点在闭区域10/6/202126根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少存在一点即通常把称为函数在闭区域D上的积分平均值。10/6/2021270yx112x+y=1x+y>1由二重积分的性质更确切的I1

8、1)解在D内10/6/202128解所以10/6/202129例2解：在D内的最大值为4，最小值为1区域D的面积为2所以由性质6得10/6/202130解10/6/