拉氏变换教程ppt课件.ppt

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1、拉氏变换和拉氏反变换1、拉氏变换设函数f(t)(t0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数，使得：则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；称为拉普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。2、拉氏反变换L－1为拉氏反变换的符号。3、几种典型函数的拉氏变换单位阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数指数函数（a为常数）指数函数0tf(t)1正弦函数与余弦函数正弦及余弦函数10tf

2、(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由欧拉公式，有：从而：同理：单位脉冲函数(t)0tf(t)单位脉冲函数1由洛必达法则：所以：单位速度函数（斜坡函数）10tf(t)单位速度函数1单位加速度函数单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。常用拉氏变换表5、拉氏变换的主要定理叠加定理齐次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a为常数；叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]a，b为常数；显然，拉氏变换为线

3、性变换。实微分定理证明：由于即：所以：同样有：当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：积分定理当初始条件为零时：证明：同样：当初始条件为零时：延迟定理设当t<0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)位移定理例：初值定理证明：其中:初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。终值定理若sF(s)的所有极点位于左半s平面，即：存在。则：证明：又由于：即：终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0

4、时的初值相同。7、求解拉氏反变换的部分分式法部分分式法如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中，-p1，-p2，…，-pn为方程A(s)=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=bi/a0(

5、i=0,1,…,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。F(s)只含有不同的实数极点式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。例：求的原函数。解：即：例求所示象函数的原函数f（t）解：其中：p1＝0、p2＝-2、p3＝-5同理：A2=0.5、A3＝－0.6其反变换为：F(s)含有重极点设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。……注意到：所以：例求所示象函数的原函数解：B（s）＝0有p1＝－1的三重根、p2＝0的二重根，所以F（s）可以展开为：从而：例：求

6、的原函数。解：于是：8、应用拉氏变换解线性微分方程求解步骤将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程实例设系统微分方程为：若xi(t)=1(t)，初始条件0，试求xo(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换：即：对方程右边进行拉氏变换：从而：查拉氏变换表得：所以：