2009-2010学年第2学期期末考试B卷试卷及解答.doc

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1、中国海洋大学2010学年春季学期期末考试试卷数学科学学院线性代数课程试题(B卷)优选专业年级学号姓名授课教师座号----------------装----------------订----------------线----------------共4页第1页题号一二三四五六总分得分符号说明：表示矩阵的秩，表示矩阵的伴随矩阵，表示阶单位矩阵，表示矩阵的转置矩阵，是的代数余子式.一、填空（18分）1.设,则=___________.解：2.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则__________.解：若矩阵有

2、两个不同的特征值，则对应于这两个特征值的特征向量线性无关，与只有一个线性无关的特征向量矛盾，因此有，且，即再由得3.如果３阶方阵的特征值分别为1，2，，则.解：因为３阶方阵有3个不同的特征值，因此存在可逆矩阵P使得，即，因此4.已知均为3阶矩阵，矩阵满足其中是3阶单位矩阵，则.解：由得，即，因此5.已知4元非齐次线性方程组，，又知为的3个解，且，，则的全部解为.解：因为，则齐次线性方程组基础解系中有一个向量，又因为为的3个解，因此，即是齐次线性方程组的一个解，因此的全部解为6.若二次型可经正交线性变换化为标

3、准型，则.解：二次型经正交线性变换化为标准型中平方项的系数事实上是其所对应的矩阵为的特征值，即A的特征值为，因此，即二、选择题（24分）1.设均为阶实对称矩阵，若存在正交矩阵，使成立.现有四个命题：①与合同；②；③若为正定矩阵，则也是正定矩阵；④与有相同的特征值和特征向量.以上命题正确的是（）.A.②；B.①②；C.①②③；D.②③④解：①存在正交矩阵，使得②③，由正交矩阵可逆可得，因此若为正定矩阵则有，即也是正定矩阵④由相似的矩阵有相同的特征值可得与有相同的特征值，但未必有相同的特征向量因此①②③正确2.

4、设是矩阵，且其列向量组线性无关，是n阶方阵，满足，授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日数学科学学院课程试题(A卷)共4页第2页则秩()A.等于nB.小于nC.等于1D.不能确定.解：由得，因此，由A列向量组线性无关得，因此，即3.与矩阵不相似的矩阵是().A.B.C.D.解：因为相似的矩阵具有相同的特征值，矩阵的特征值为1，3，矩阵的特征值为0，4，因此不相似4.设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）.(A)若仅有零解，则有唯一解；(B)若有非零解，

5、则有无穷多解；(C)若有无穷多解，则仅有零解；(D)若有无穷多解，则有非零解。解：(A)若仅有零解，只说明，但与不一定相等，即不一定有解(B)若有非零解，只说明，但与不一定相等，即不一定有解(C)若有无穷多解，说明，则有非零解(D)若有无穷多解，说明，则有非零解因此选(D)5.已知与相似，则（）.(A)，(B)，(C)，(D)；解：因为相似的矩阵具有相同的特征值，由与相似可得有相同的特征值，因此解得6.设向量组线性无关，向量组线性相关，则（）.(A)能由线性表示；(B)能由线性表示；(C)未必能由线性表示；

6、(D)以上都不对。解：(A)不一定能由线性表示，反例：(B)由向量组线性无关，得线性无关，又因为向量组线性相关，因此能由线性表示；(C)未必能由线性表示，由(B)可知错误7.已知是方程组的两个不同解，是对应齐次方程组的基础解系，则的一般解是（）.(A);(B);(C);(D).解：由是方程组的两个不同解，因此也是方程组的解，并且是齐次方程组的解，又因为是对应齐次方程组的基础解系，说明的两个线性无关的解都可以作为基础解系，因此的一般解是特解加上两个线性无关的解的线性组合，(B)显然符合，至于(D)，不一定能判

7、断线性无关性，(A)和(C)中没有的特解8.是两个不同的阶方阵，且与相似，则之间可能不同的是（）(A)特征值；(B)行列式值；(C)秩；(D)特征向量.解：相似的矩阵有相同的特征值，由得，并且左乘右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，但相似的矩阵不一定有相同的特征向量三、计算（24分）1.设可逆，且，当时，求.（8分）中国海洋大学2008-2009学年第2学期期末考试试卷数学科学学院课程试题(A卷)优选专业年级学号姓名授课教师座号----------------装----------------订----------

8、------线----------------共4页第3页解：由，得，于是。而，用求逆矩阵的公式或者初等行变换法，得2.设是3维向量空间的一组基，求由基到的过渡矩阵.（8分）解.设由到的过渡矩阵是，到的过渡矩阵是，到的过渡矩阵是，而，所以；，即.由基到的过渡矩阵3.求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并用它们表示其余向量.（8分）解记，则是的列向量组的一个极大线性无关组，也为的列向量组的一个极大线性无关组，且.故