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1、第八节曲线与方程1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是_____________.(2)以这个方程的解为坐标的点都在_______.那么，这条曲线叫作___________，这个方程叫作___________.这个方程的解曲线上方程的曲线曲线的方程2.求动点的轨迹方程的基本步骤3.圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到_________的距离与它到___________的距离之比为定值e.e的范围与圆锥曲线形状关系如下：一个定点一条定直线e的范围圆锥曲线表示
2、的曲线______椭圆____双曲线____抛物线01e=14.直线与圆锥曲线的交点设曲线C1:f(x,y)=0，C2:g(x,y)=0,M(x0,y0)是曲线C1与C2的一__________个交点故求曲线交点即求方程组___________，的实数解.f(x0,y0)=0g(x0，y0)=0判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.()(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.()(4)方程与
3、x=y2表示同一曲线.()(5)若动点P到定直线l:x=4的距离与到定点F(1，0)的距离之比是则动点P的轨迹为椭圆.()【解析】(1)正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时，有f(x0,y0)=0,∴f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(2)错误.方程变为x(x+y-1)=0,∴x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.(3)错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时，是x2=y2,否则不正确.(4)错误.因为方程表示的曲线，只是
4、方程x=y2表示曲线的一部分，故其不正确.(5)错误.动点P到定点F(1，0)的距离与到定直线l:x=4的距离之比为2,轨迹应为双曲线的一支，而不是椭圆.答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×1.方程表示的曲线是()(A)抛物线的一部分(B)双曲线的一部分(C)圆(D)半圆【解析】选D.因为∴y≥0,∴x2+y2=9(y≥0)表示一个半圆.2.已知定点P(x0,y0)不在直线l:f(x,y)=0上，则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条()(A)过点P且垂直于l的直线(B)过点P且平行于l的直线(C)不过点P但垂直于l的直线(D)不过点P但平行于l的直线【
5、解析】选B.显然定点P(x0,y0)满足方程f(x,y)-f(x0,y0)=0，即直线f(x,y)-f(x0,y0)=0过点P，设直线l:f(x,y)=0的方程为Ax+By+C=0，即f(x,y)=Ax+By+C,∴f(x,y)-f(x0,y0)=0的方程为:Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0,∴Ax+By-Ax0-By0=0与l平行.综上可知：B正确.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且
6、PM
7、=
8、MQ
9、，则Q点的轨迹方程是()(A)2x+y+1=0(B)2x-y-5=0(C)2x-y-1=0(D)2x
10、-y+5=0【解析】选D.由题意知，M为PQ中点，设Q(x,y),则P点坐标为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.4.已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长
11、CD
12、=3,则顶点A的轨迹方程为_______.【解析】设点A(x,y)，因为B(0,0)，所以AB的中点又C(5,0),
13、CD
14、=3，所以化简得：(x-10)2+y2=36.又∵△ABC中的三点A，B，C不能共线，所以去掉点(4,0)和(16,0).答案：(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0))5.曲线C1:与曲线C2:y=1－(x+1)2的公共点
15、的个数是_______.【解析】由消去x得4y2－y－3=0,Δ＝(－1)2－4×4×(－3)=49>0，同理可得y2=1时得x=－1,所以公共点的个数是3.答案：3考向1利用直接法求轨迹方程【典例1】(1)(2012·江西高考改编)已知三点O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，若曲线C上任意一点M(x,y)满足则曲线C的方程为_______.(2)已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与
16、MQ
17、的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程.【思路点拨】(1)直接依据利
