资源描述：
《《概率论与数理统计》第二章.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章、随机变量及其概率分布本章基本内容与要求：1.理解随机变量的概念，掌握分布函数的概念及性质，会用分布函数求概率。2.理解离散变量及其分布律的概念及性质，会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数。3.掌握3个常用的离散型概率分布：0—1分布，二项分布和泊松分布，会查泊松分布表，会计算这些分布的相关概率。4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度的性质，清楚概率密度与分布函数之间的关系，会用概率密度求分布函数，也会用分布函数求概率密度，会计算随机变量落入某一区间的概率。5.掌握均匀分布和指数分布，熟练掌
2、握正态分布，会查标准正态分布表，能熟练运用正态分布的概率计算公式计算概率：（P47例2-22）6.会求离散型随机变量简单函数的分布律。对于连续型随机变量的函数，要求会用“公式法”求“单调型”随机变量函数的概率密度；至于“非单调型”随机变量函数的概率密度的“直接变换法”，只要求一般了解即可。一、离散型随机变量（一）随机变量的概念定义2-1：设E是随机试验，样本空间为，如果对于每一个结果（样本点），有一个实数与之对应，这样就得到一个定义在上的实数值函数，称为随机变量，随机变量通常用或来表示。例如：（1）在投掷一枚硬币的试
3、验中，表示“出现反面”；表示“出现正面”。则，。（2）在掷骰子的试验中，表示“出现点”（），则，，（）；表示“出现的点数大于或等于4点”，即，。（3）在测试灯泡寿命的试验中，表示“灯泡寿命不超过1000小时”；表示“灯泡寿命在1000小时到1500小时之间”。注：（1）用随机变量描述事件，可以使我们摆脱只是孤立地研究一个或几个事件，而且通过随机事件把各个事件联系起来，进而研究随机事件的全貌；（2）随机变量是研究随机试验的有效工具。（二）离散型分布变量及其分布律1.离散型随机变量的定义：若随机变量X只取有限个或可列个值
4、，则称X为离散型随机变量。2.离散型随机变量的概率分布：设X为离散型随机变量，可能取值为，且则称为X的分布律（或分布列，或概率分布）。离散型随机变量的分布律也可用表格的形式来表示：X……P...…3.概率分布的性质：（1）（2）4.例题讲解：例1.设离散型随机变量X的分布律为：X012P0.2c0.5求常数c。解：有概率分布的性质可知：0.2+c+0.5=1，c=0.3例2.掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。解：X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6，且则X的分布律为X123456P例3.袋子里
5、有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，从中同时取出3个球，记X为取出的最大编号，求X的分布律。解：X的取值为3,4,5，由古典概型的概率计算方法得（3个球的编号为1,2,3）（有一球编号为4，另外两个从1,2,3中任取两个搭配而成）（有一个球编号为5，另外两个球的编号小于5）则，X的分布律为：X345P（三）几种常见的离散型概率分布1.两点分布（0-1分布）：X~B(1,P)定义：若随机变量X只取两个可能值0,1，且其中，则称X服从0-1分布。X的分布律为X01Pqp2.二项分布：定义：若随机变量X的可能取值
6、为0,1,2，…，n，而X的分布律为，即X服从参数为n,p的二项分布，记为。当n很大,p很小时，二项分布的近似公式就是著名的二项泊松逼近。即即当n很大，p很小时3.泊松分布：定义：设随机变量X的可能取值为0,1,2，…，n,…,而X的分布律为其中，则称X服从参数为的泊松分布，记为。4.例题讲解例6.某种特效药的临床有效率为0.95.现有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？解：设X为10人中治愈的人数，则,而所求概率为例7.设，设，试求。分析：由于，所以，欲求，需先求p。利用求出p即可。解：，，所以，有此得：再由
7、可得：。例9.设随机变量X服从参数为5的泊松分布，求：。解：（1）时，查表得：（2）。例10.设X服从泊松分布，且已知，求。解：由于X服从泊松分布，所以于是，，解之得，故。二、随机变量的分布函数（一）分布函数的概念1.定义：设X为随机变量，称函数为X的分布函数。2.当X为离散型随机变量时，设X的分布律为pk=PX=k,k=0,1,2,…由于，由概率性质知，，即其中，求和是对所有满足时相应的概率求和。3.例题讲解例11.设离散型随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求X的分布函数。解：当时，当时，当
8、时，当时，当时，则X的分布函数为（二）分布函数的性质1.；2.是不减函数，即对于任意的有；3.；4.右连续，即。5.推论：（1）；（2），其中。（3）例12.设随机变量X的分布函数为其中为常数，求a与b的值。解：又因为，所以，又由于的右连续性，得到由此得。例13.设随机变量X的分布函数为，求；；。解：三、连续型随机变量及其概率密度（一）连续型随
