向量积的运算公式及度量公式.doc

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1、张喜林制2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律：(1)交换律：(2)分配律：(3)数乘向量结合律：2．常用结论：3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若则4．设如果则如果则对于任意实数k，向量与向量垂直．5．向量则6．若则所以要点核心解读1．向量数量积的运算律（交换律）；（结合律）；（分配律）．2．向量数量积的运算律的证明（交换律）证明：（结合律）证明：当时，与a同向，当时，反向，综合以上可得③由②同理可证得：综合以上可得：（分配律）证明：作轴L与向量c

2、的单位向量平行．如图2-3-2-1，作则设点0、A、B在轴L上的射影为跟据向量的数量积的定义有但对轴上任意三点都有即上式两边同乘以由得：∴得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，是错误的，这是因为都是数量，所以分别表示a的共线向量

3、和c的共线向量，当然就不能相等．(5)由可得向量的三个运算公式：4．向量内积的坐标运算建立正交基底已知，则因为所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设则6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3-2-2，已知则因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果则从而②的长就是A、B两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设则两个向量夹角余弦的坐标表达式7

4、．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量则利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知：则与是否互相垂直？并说明理由．解：由已知有又所以(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a与b的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a，b为非零向量，如果那么a，b的夹角为锐角或

5、a，b同向，反之也成立；如果那么a，b的夹角为钝角或a，b反向，反之也成立，典例分类剖析考点1判断向量运算的正误[例1]给出下列命题：①设a、b、c是非零向量，则与c共线；②若且则与a⊥b是等价命题；④若则⑤若a与b共线，则⑥若则是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析]向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a×b是一个实数，不妨记作，故所以①正确．因为所以所以故②正确．③因为所以或所以或或又因为规定O与任意向量垂直，所以反之，故③正确．不一定有例如且此时但故④错．⑤a与b共线

6、方向相同或方向相反或故⑤错，⑥因为所以所以所以为钝角或平角，故⑥错．[答案]①②③[点拨]此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为()．②a、b反向④⑤考点2向量的混合运算[例2](1)已知则(2)若向量a、b、c满足且则[解析]（1）(2)根据已知条件，可知a与b同向，c与a+b反向．解法一：由已知得可知向量a与b同向，而向量c与它们反向，解法二：[答案][点拨]①利用公式和向量数量积的运算性质计算．②(

7、2)问解法二是利用推广到予以解答的．2．已知求：的值，考点3利用数量积及运算律求横[例3]已知向量a、b满足且求的值．[解析]通过数量积a×b来探求已知条件与目标式之间的关系.又将代入有而[点拨]解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a、b、c满足：当时；求及的值．考点4向量夹角问题[例4]已知a，b是两个非零向量，且求向量b与的夹角．[解析]我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a、b为邻边的平行四边形．如图2-3-2-3所示，若则由可知b与所成角是我们还可以利用数量积的运算，得出b与a-b的央角，为了巩固

8、数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由作为切入点，而由而②代入①②得又4．已知(1)若a与b的夹角为求(2)若求a与b的夹角．考点5垂直问题[例5]已知且a与b的夹角为问：当且仅当k为何值时，向量与垂直？[解析]利用得到关于k的方程，通过解此方程得到k的值．于是且a与b