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时间:2020-09-08
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1、4.6曲线的凹凸性和拐点当前讲授一、什么是曲线的凹与凸及拐点 从直观上看,图中左侧的函数曲线称为凹的,右侧的函数曲线称为凸 的. 思考:函数,,有没有凹凸性? 函数是直线,不存在凹与凸,是凹的,在内是凸的,在内是凹的. 定义:设函数在区间I内可导,如果是递减的,则称曲线在区间I上是凸的(上凸的);如果是递增的,则称曲线在区间I上是凹的(下凸的);曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点. 在下面这张图中.曲线在AB段是凸的,在BC段是凹的.凹与凸的分界点B就是拐点.二、曲线的凹凸性与二阶导数的关系 定理一
2、:若在内有,则曲线在上是凹的;若在内有,则曲线在上是凸的;两侧二阶导数异号的点是拐点. 可简记为:曲线凹(开口向上)曲线凸(开口向下) 定理二(拐点的必要条件):若点是曲线的拐点,且处二阶导数存在,则必有. 反之,二阶导数为零的点未必是拐点.例如函数,在内其二阶导数处处为零,但曲线无拐点. 此外,二阶导数不存在的点也可能是拐点.例如的二阶导数,在内,曲线是凹的;在内,曲线是凸的,所以原点是拐点,但在处二阶导数不存在.三、求曲线凹凸区间及拐点的步骤 拐点隐藏在那些二阶导数为0和二阶导数不存在的点中.
3、 判定曲线凹凸性及求拐点的步骤: (1)求定义域(如果题目指定了区间,则此步骤可省略). (2)求二阶导数为零的点及不存在的点. (3)列表分析.以上述点划分定义域,在各子区间确定的符号,从而确定曲线的凹凸区间,进而确定拐点. 注意:拐点是曲线上的点,应表示为的形式. 典型例题 例4.6.1 判定曲线的凹凸性. 提示>> 解 定义域:, , 在内,,曲线在内是凹的. 例4.6.2 讨论曲线的凹凸性,并求出它的拐点. 提示>> 解 定义域: 令,得二阶导数为零的点为,.无二
4、阶导数不存在的点. 列表分析0-0-0+不对应拐点对应拐点 可见:曲线在区间上是凸的,在区间上是凹的.有一个拐点,此拐点的横坐标,纵坐标,即曲线的拐点为. 例4.6.3 已知的拐点为,且在处有极值.求a、b、c. 提示>> 解: , ∵是函数的极值点,且函数在该点可导, ∴必然是驻点,于是有,即 ……(1) , ∵点为拐点,且函数在该点二阶可导, ∴在处函数的二阶导数必然为零,于是有,即 ……(2) 又 即 ……(3) 联立求解方程(1)(2)(3),即可解得:,,.
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