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《全国高水平大学华约自主招生选拔学业能力测试数学试题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2011年高水平大学(华约)自主招生选拔学业能力测试数学试题分值:分时量:分钟一、选择题(本大题共10小题,每小题3分)1.设复数满足且,则=()A.B.C.D.2.在正四棱锥中,分别为的中点,且侧面与底面所成二面角的正切值为.则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.3.过点的直线与曲线相切,且不是切点,则直线的斜率是()A.2B.C.D.4.若,则的最小值和最大值分别为()ABCOO1O2A.B.C.D.5.如图,和外切于点又都和内切,切点分别为,设,则()A..B.C.D.6.已知异面直线成角,为空间中一点,则过与都成角的平面有且只有()A.1个B
2、.2个C.3个D.4个7.若向量,则最小值为()A.B.C.D.8.为过抛物线焦点的弦,为坐标原点,且为抛物线准线与轴的交点,则的正切值为()A.B.C.D.ABCEDF9.如图,已知的面积为,分别为边上的点,为线段上一点,设且则面积的最大值为()A.B.C.D.10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形,这些三角形在正11边形内两两不相交,则()A.存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形B.存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形C.存在某种分法,所分出的三角形至少有3个锐角三角形D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形二、解答题1
3、1.(本小题满分14分)已知不是直角三角形.(1)证明:;(2)若,且的倒数成等差数列,求的值.12.(本小题满分14分)已知圆柱形水杯质量为克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直主放置),质量为克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯重心还在圆柱轴的中点处.(1)若,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值;(2)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么?13.(本小题满分14分)已知函数另(1)求数列的通项公式;(2)证明:.14.(本小题满分14分)已知双曲线分别为的左、右焦点,为右支上一点,且使,又的面积为
4、.(1)求的离心率;(2)设为的左顶点,为第一象限内上的任意一点,问是否存在常数,使得恒成立.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.15.(本小题满分14分)将一枚均匀的硬币币连续抛掷次,以表示未出现连续3次正面的概率.(1)求和;(2)探究数列的递推公式,并给出证明;(3)讨论数列的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.MNODyCBAPxz参考答案:一.选择题1【解】由,得,解得
5、z
6、=2(舍),.2【解】法一：如图右,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为.如图建立坐标系,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D
7、(-1,-1,0),P(0,0,),则,.MNDCBAPQ设所成的角为θ,则.法二:如图,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为.平移DM与AN在一起.即M移到N,D移到CD的中点Q.于是QN=DM=AN.而PA=PB=AB=2,所以QN=AN=,而AQ=,容易算出等腰ΔAQN的顶角.3.【解】易知点在曲线上,但题交待其不是切点,故设切点为,则所以切线方程为,也所以有,也即,化简得所以,也即4【解】ABCOO1O2,可见答案是B5.【解】题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱.我们来转化一下,就可以去掉三个圆,接,C在上,则如右图所示,
8、由于所以设同理设,由于三点共线,于是……①又中,有……②,所以①②联立得.6.【解】已知平面过A,再知道它的方向,就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向,我们考虑它的法线,并且假设a,b为相交直线也没关系.于是原题简化为：已知两条相交直线a,b成60°角,求空间中过交点与a,b都成角的直线.答案是4个.7.【解】由得,由于,可以用换元法的思想,看成关于三个变量,,答案B8.【解】法一:焦点,直线AB方程,与抛物线方程联立,解得,于是,,答案A法二:如图,利用抛物线的定义,将原题转化为:在直角梯形中,EABCDFx∠BAD=45°,EB∥DA,AF=AD,BF
9、=BC...类似的,有,所以有,也所以有,,答案A9.【解】连结,则有,,,于是.注意到,且即,所以由三元均值不等式得即(当时取等号)EFABCD于是.10.【解】我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图,假设ΔABC是锐角三角形,我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角.事实上,,而四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠ADC=180°-∠B,所以∠D为钝角.这样就排除了B,C.下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形.假设ΔABC中∠B是钝角,在AC的另一侧一定还有其他顶点,我们
10、就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边A
