2011年高水平大学自主选拔学业能力测试-数学试题.doc

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1、2011年高水平大学自主选拔学业能力测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足且，则().（A）（B）（C）（D）2．在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为.则异面直线DM与AN所成夹角的余弦值为().（A）（B）（C）（D）3．过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是().（

2、A）2（B）1（C）（D）4．若，则的最小值和最大值分别为().（A）（B）（C）（D）BAO1OO2C5．如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，⊙O1，⊙O2又都和⊙O内切，切点分别为A，B.，则下列不正确的是().（A）（B）（C）（D）6．已知异面直线所成60°角，A为空间中一点，则过A与都成45°角的平面().（A）有且只有一个（B）有且只有两个（C）有且只有三个（D）有且只有四个7．已知向量，，，.则的最小值为().（A）1（B）（C）（D）28．AB过抛物线焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为().（A）（B）（C）（

3、D）9．如图，已知△ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设，且，则△BDF面积的最大值为().（A）（B）（C）（D）10．将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则().（A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形（B）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形（C）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形（D）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.11．（本小题满分14分）已知△ABC不是直角三角形.（

4、1）证明：；（2）若，且的倒数成等差数列，求的值.12．（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处.（1）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（2）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？13．（本小题满分14分）已知函数，，，令，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.14．（本小题满分14分）已知双曲线（），，分别为C的左、右焦点，P为C右支上一点，且使，又△F1PF2的面积为.

5、（1）求C的离心率e；（2）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.15．（本小题满分14分）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示未出现连续三次正面的概率.（1）求和；（2）探究数列的递推公式，并给出证明；（3）讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.